Benützer:
Gesamte kinetische Energie
Storyboard 
Die Gesamtkinetische Energie ist die Summe aus der kinetischen Energie der Translation und der kinetischen Energie der Rotation.Diese Unterscheidung ist wichtig, da je nach Bewegungsart eines Objekts die kinetische Energie unterschiedlich zwischen Translation und Rotation verteilt sein kann, was die Geschwindigkeit beeinflusst, mit der es sich bewegt.
ID:(1418, 0)
Zylinder, der sich um die Achse $\parallel$ dreht
Bild
Die Drehung eines Zylinders mit Masse $m$ und Radius $r$ um die Achse des Zylinders, wobei sich der Schwerpunkt (CM) in halber Höhe befindet:
ID:(10964, 0)
Kugel
Bild
Eine Kugel mit der Masse $m$ und dem Radius $r$ rotiert um ihren Schwerpunkt, der sich im geometrischen Zentrum befindet:
ID:(10490, 0)
Gesamte kinetische Energie
Modell
Die Gesamtkinetische Energie ist die Summe aus der kinetischen Energie der Translation und der kinetischen Energie der Rotation. Diese Unterscheidung ist wichtig, da je nach Bewegungsart eines Objekts die kinetische Energie unterschiedlich zwischen Translation und Rotation verteilt sein kann, was die Geschwindigkeit beeinflusst, mit der es sich bewegt.
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
Die Energie, die erforderlich ist, um ein Objekt von der Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ auf die Winkelgeschwindigkeit $\omega_2$ zu ndern, kann mithilfe der Definition
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
berechnet werden. Unter Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes kann diese Gleichung umgeschrieben werden als
$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$
Durch Verwendung der Definition der Winkelgeschwindigkeit
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
erhalten wir
$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$
Die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten ist
$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$
Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit selbst durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit approximiert werden
$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$
Unter Verwendung beider Ausdr cke ergibt sich die Gleichung
$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$
Damit ndert sich die Energie gem
$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Wir k nnen dies verwenden, um die kinetische Energie zu definieren
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
(ID 3244)
Die Arbeits Varianz ($\Delta W$), die erforderlich ist, damit ein Objekt von die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) auf die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wechselt, wird durch das Anwenden eines der Drehmoment ($T$) erzeugt, das eine Winkelverschiebung die Differenz von Winkel ($\Delta\theta$) verursacht, gemäß:
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes für Rotation in Bezug auf der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):
| $ T = I \alpha $ |
kann dieser Ausdruck umgeschrieben werden als:
$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$
oder unter Verwendung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
ergibt sich:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$
Durch Verwendung der Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$):
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
resultiert:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$
wobei die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) sich ausdrückt als:
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit angenähert werden:
$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$
Durch die Kombination beider Ausdrücke ergibt sich:
$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$
Daher ergibt sich der Energieänderungsausdruck:
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Damit kann die Rotationskinetik wie folgt definiert werden:
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
(ID 3686)
Wenn ein Objekt rollt, ist seine Winkelgeschwindigkeit durch seine translatorische Geschwindigkeit verbunden ber
| $ v = r \omega $ |
was zur rotationskinetischen Energie f hrt
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
die sich ergibt zu
$K_r=\displaystyle\frac{1}{2}I \omega^2=\displaystyle\frac{1}{2} I \displaystyle\frac{v^2}{r^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{I}{r^2}\right)v^2$
Daher ergibt sich bei Kombination der translationskinetischen Energie
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2$ |
die kinetische Energie eines rotierenden K rpers aus der Summe
| $ K = K_t + K_r $ |
bedeutend,
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$ |
(ID 9877)
Die Gesamte kinetische Energie ($K$) entspricht der Summe von die Translational Kinetic Energy ($K_t$) und die Kinetische energie der rotation ($K_r$):
| $ K = K_t + K_r $ |
Da die Translational Kinetic Energy ($K_t$) in Abhängigkeit von die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) ausgedrückt wird:
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2$ |
und die Kinetische energie der rotation ($K_r$) in Abhängigkeit von der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) definiert ist:
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
ergibt sich schließlich:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 9944)
Beispiele
(ID 15605)
(ID 15607)
ID:(1418, 0)