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Energía cinética total
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La energía cinética total es la suma de la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotación.
Esta distinción es importante porque dependiendo de cómo se mueva un objeto, la energía cinética puede distribuirse de manera diferente entre la traslación y la rotación, lo que afecta la velocidad con la que se desplaza.
ID:(1418, 0)
Energía cinética total
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La energía cinética total es la suma de la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotación. Esta distinción es importante porque dependiendo de cómo se mueva un objeto, la energía cinética puede distribuirse de manera diferente entre la traslación y la rotación, lo que afecta la velocidad con la que se desplaza.
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La variación del trabajo ($\Delta W$) necesaria para que un objeto cambie de la velocidad inicial ($v_0$) a la velocidad ($v$) se obtiene aplicando la fuerza ($F$) que produce un desplazamiento angular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), según:
Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación, en función de la masa inercial ($m_i$) y la aceleración constante ($a_0$):
esta expresión puede reescribirse como:
$\Delta W = m_i a \Delta s$
o, utilizando la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
obtenemos:
$\Delta W = m_i\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} \Delta s$
Si utilizamos la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
resulta:
$\Delta W = m_i\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} \Delta s= m_i v \Delta v$
donde la diferencia de velocidad ($\Delta v$) se expresa como:
Por otro lado, la velocidad angular puede aproximarse mediante la velocidad angular promedio:
Combinando ambas expresiones, se obtiene la ecuación:
$\Delta W = m_i v \Delta v = m_i(v_2 - v_1) \displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(v_2^2 - v_1^2)$
Por lo tanto, el cambio en la energía se expresa como:
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}v_1^2$
Lo que nos permite definir la energía cinética rotacional como:
La variación del trabajo ($\Delta W$) necesaria para que un objeto cambie de la velocidad angular inicial ($\omega_0$) a la velocidad angular ($\omega$) se obtiene aplicando un el torque ($T$) que produce un desplazamiento angular la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$), según:
Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación, en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):
esta expresión puede reescribirse como:
$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$
o, utilizando la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
obtenemos:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$
Si utilizamos la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
resulta:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$
donde la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se expresa como:
Por otro lado, la velocidad angular puede aproximarse mediante la velocidad angular promedio:
$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$
Combinando ambas expresiones, se obtiene la ecuación:
$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$
Por lo tanto, el cambio en la energía se expresa como:
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Lo que nos permite definir la energía cinética rotacional como:
Cuando un objeto rueda, su velocidad angular est relacionada con la velocidad de traslaci n a trav s de
lo cual conduce a la energ a cin tica de rotaci n
que se expresa como
$K_r=\displaystyle\frac{1}{2}I \omega^2=\displaystyle\frac{1}{2} I \displaystyle\frac{v^2}{r^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{I}{r^2}\right)v^2$
As , combinando la energ a cin tica de traslaci n
la energ a cin tica de un cuerpo que rota se calcula mediante la suma
es decir,
La energía cinética total ($K$) corresponde a la suma de la energía cinética de traslación ($K_t$) y la energía cinética de rotación ($K_r$):
Dado que la energía cinética de traslación ($K_t$) se expresa en función de la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$) como:
y que la energía cinética de rotación ($K_r$), en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la velocidad angular ($\omega$), se define como:
se obtiene finalmente:
Ejemplos
La energía cinética de traslación ($K_t$) se determina en función de la velocidad ($v$) y de la masa inercial ($m_i$), de acuerdo con:
5288 se asocia a 6290 y no a 8762, aunque numéricamente sean iguales. La energía que posee un objeto es consecuencia directa de la inercia que fue necesario vencer para lograr su movimiento.
La energía cinética de rotación ($K_r$) es una función de la velocidad angular ($\omega$) y de una medida de la inercia representada por el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$):
La energía cinética total ($K$) puede tener componentes de traslación y/o de rotación. Por lo tanto, se expresa como la suma de la energía cinética de traslación ($K_t$) y la energía cinética de rotación ($K_r$):
La energía cinética total ($K$), cuando existen tanto una traslación que depende de la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$) como una rotación que depende de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la velocidad angular ($\omega$), se puede calcular mediante:
Cuando un objeto rueda,
su velocidad angular se relaciona con la velocidad de traslaci n mediante
lo que nos lleva a la energ a cin tica de rotaci n
y, en consecuencia, a la obtenci n de una energ a cin tica total
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