Usuario:
Aceleración de electrones
Descripción
Una vez hemos logrado 'evaporar' electrones debemos acelerarlos lo que se logra colocando un ánodo* que atraiga los electrones. Sin embargo el flujo no es simplemente igual a aquel que calculamos en la superficie del filamento. El problema es que un electrón viajando entre el filamento y el ánodo es antecedido y seguido por otros
electrones que lo rechazan. Esto limita el flujo y se hace necesario calcula el efecto de la distribución de los electrones entre filamento y ánodo.
*se habla por lo general de ánodo aun que en estricto rigor es un cátodo dado que la corriente fluye del cátodo al ánodo pero ya que la corriente fluye de un ánodo a un cátodo mientras que los electrones lo hacen en el sentido contrario.
ID:(244, 0)
Constante de Richardson Dushmann
Ecuación
La constante de Richardson Dushmann se calcula de la masa del electrón
| $A=\displaystyle\frac{4\pi m_ek^2e}{h^3}$ |
ID:(4031, 0)
Corrientes de saturación
Descripción
Los electrones que son liberados del filamento pueden ser acelerados por un campo eléctrico entre el propio filamento y un ánodo. Sin embargo, como los electrones se repelen entre si, aquellos que ya se están desplazando hacia el ánodo repelen a los que los siguen reduciendo efectivamente el flujo. Este fenómeno de repulsión lleva a que el flujo de electrones entre filamento y ánodo este limitado pudiendo llegar como máximo a la llamada corriente de saturación.
ID:(852, 0)
Densidad de flujo de electrones
Ecuación
Dado que se conoce la distribución de los electrones en función de la energía y la temperatura se puede estimar el flujo de estos saliendo del filamento. Dicho calculo dio origen a la llamada ley de Richardson Dushmann que tiene la forma
| $j_z=AT^2(1-\gamma)e^{-\phi/kT}$ |
donde
| $A=\displaystyle\frac{4\pi m_ek^2e}{h^3}$ |
ID:(4030, 0)
Ejemplo radios X
Descripción
Los rayos X son de menor energía (100 eV a 100 keV) por lo que se pueden generar sin la ayuda de una guía de Ondas. Por ello se monta un filamento y el ánodo pasa a ser a su vez el objetivo (target) para generar los fotones.
Como dicho proceso genera calor en muchos casos se monta el objetivo sobre un disco rotativo y con la ayuda de un motor se va girando. De esta forma las zonas expuestas son retiradas, enfriadas y vueltas a usar en forma periódica.
ID:(247, 0)
Energía salida ánodo
Ecuación
Cuando el electrón emerge del ánodo su energía
| $ E = e V $ |
ID:(4061, 0)
Equilibrio térmico
Ecuación
Por ello se tiene que con una corriente
| $I_f^2\rho_e(T)\displaystyle\frac{l_f}{\pi r_f^2}=2\pi r_fl_f\epsilon\sigma(T^4-T_0^4)$ |
donde
Se selecciona un potencial en el filamento que genere una corriente
ID:(4027, 0)
Flujo de electrones
Descripción
Por efecto del campo eléctrico entre filamento (negativo) y ánodo (positivo) los electrones liberados en el primero son acelerados en dirección del segundo. El ánodo mismo es un disco con un orificio en el centro permitiendo generar el campo entre filamento y ánodo pero permitiendo que el haz se focalice en el centro y con ello creando un haz centrado en el orificio que surge detrás del ánodo. Este haz puede ser usado en forma directa (rayos X) o acelerado adicionalmente por una guía de onda para finalmente impactar el target en que se generan los fotones necesarios para el tratamiento.
ID:(851, 0)
Flujo de saturación según Child-Langmuir
Ecuación
A baja densidad el flujo resulta igual al del filamento sin embargo al ir creciendo esta el sistema se satura o sea no es capaz de permitir mas electrones entre filamento y ánodo. El limite de la densidad del flujo de corriente puede calcular se y da origen a la ley de Child-Langmuir:
| $j_{max}=-\displaystyle\frac{4\epsilon_0}{9}\sqrt{\displaystyle\frac{2e}{m_e}}\displaystyle\frac{V^{3/2}}{d^2}$ |
donde e es la carga del electrón,
ID:(4032, 0)
Resistividad del filamento
Ecuación
La resistividad eléctrica del filamento es una función de la temperatura de este. Si
| $\rho_e(T)=\rho_u\left(\displaystyle\frac{T}{T_u}\right)^u$ |
donde
Para el caso del Tungsteno se pueden asumir los valores
ID:(4028, 0)
Temperatura del filamento
Ecuación
El equilibrio térmico se da cuando
| $I_f^2\rho_e(T)\displaystyle\frac{l_f}{\pi r_f^2}=2\pi r_fl_f\epsilon\sigma(T^4-T_0^4)$ |
con
Por otro lado la resistividad del filamento depende de la temperatura de este y se puede estimar mediante
| $\rho_e(T)=\rho_u\left(\displaystyle\frac{T}{T_u}\right)^u$ |
que depende de la resistividad de referencia
Si se necesita calcular la temperatura del filamento, ambas ecuaciones nos permiten construir una ecuación que depende de
| $T=\left(\displaystyle\frac{\rho_uI_e^2}{2\epsilon\pi^2\sigma r_f^3T_u^u}\right)^{1/(4-u)}$ |
donde
ID:(4029, 0)
Velocidad salida ánodo
Ecuación
Tras la aceleración inicial el electrón aun no es relativista y la energía ganada en el potencial filamento-ánodo
donde
| $v=\sqrt{\displaystyle\frac{2eV}{m}}$ |
ID:(4056, 0)
Filamento
Imagen
El origen de los electrones es un filamento similar al que existe en las clásicas ampolletas. Esta hecho de materiales que tienen puntos de fusión altos como el Tungsteno (3695 K).
Filamento
Su radio es por lo general de algunas decenas de micrones. El largo por otro lado, si se le estira, es de varias decenas de centímetros.
ID:(3045, 0)
Distribución de electrones en el filamento
Imagen
La temperatura hace que los electrones ocupen niveles de mayor energía que superan la energía de Fermi. Algunos pocos superan el nivel de energía libre y están en condiciones de abandonar el filamento.
Distribución de los Electrones
La energía que deben típicamente superar los electrones para liberarse del filamento se denomina función de trabajo. En el caso del tungsteno es del orden de 4.5 eV.
ID:(3046, 0)
Electrones entre filamento y ánodo
Imagen
El electrón que abandona el filamento se encuentra en un campo eléctrico entre el filamento (negativo) y el ánodo (positivo) que acelera los electrones.
La distancia entre filamento y ánodo es del orden de decenas de milímetros y el potencial entre ambos en el orden de decenas de miles de Volts.
Al avanzar los electrones entre filamento y ánodo, se encuentra rodeados de electrones que los preceden y otros que los siguen.
Saturación en el flujo entre filamento y ánodo
Como los electrones se repelen entre ellos, existe un limite al número de estos que pueden desplazarse entre el filamento y el cátodo. Con ello existe una corriente máxima y se habla de que el flujo llega a un nivel de saturación.
ID:(3047, 0)
Flujo de electrones en el filamento
Imagen
El flujo de los electrones se calcula mediante la ecuación de Richardson-Duschmann que depende de la temperatura del filamento
Flujo de los electrones
Este flujo solo puede existir si es inferior al flujo para el caso de saturación que se calcula con la ecuación de Childs-Langmuir.
ID:(3054, 0)
Flujo de electrones entre filamento y ánodo
Imagen
El control de la temperatura del filamento se logra mediante la corriente
El flujo de los electrones se controla mediante el potencial entre filamento y ánodo.
Flujo de electrones entre filamento y ánodo
Para voltajes bajos el flujo se comporta como la ecuación de Richadson-Dsuchmann mientras que para voltajes mayores entra en la fase de saturación descrita por la ecuación de Childs-Langmuir.
ID:(3055, 0)
