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Elastische Längsverformung
Storyboard 
Wenn eine Kraft auf die Oberfläche eines Körpers ausgeübt wird, entsteht eine Zone, in der das Material komprimiert oder expandiert, was zu einer Bewegung parallel zum Normalenvektor der Oberfläche führt. Dies wird als longitudinale Deformation bezeichnet.
ID:(325, 0)
Elastische Längsverformung
Storyboard
Wenn eine Kraft auf die Oberfläche eines Körpers ausgeübt wird, entsteht eine Zone, in der das Material komprimiert oder expandiert, was zu einer Bewegung parallel zum Normalenvektor der Oberfläche führt. Dies wird als longitudinale Deformation bezeichnet.
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
Wenn wir die Gleichung zur Berechnung von der Arbeit ($W$) als das Integral von die Federkraft ($F_k$) entlang des Pfads w hrend der Verformung verwenden:
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
Und wir verwenden die Gleichung f r die Federkraft ($F_k$) mit der Elastizitätsmodul ($E$), die Körper Sektion ($S$), die Verlängerung ($u$), der Körperlänge ($L$) und die Verlängerung ($u$)
wo wir entlang des zur ckgelegten Pfads summieren. Im Falle einer elastischen Verformung ist die Beziehung linear und wird zu:
$W=\displaystyle\frac{ES}{L}\displaystyle\int_0^u d\vec{s}\cdot\vec{s}$
Dies f hrt zu:
$W=\displaystyle\frac{ES}{2L}u^2$
Durch Verwendung der Gleichung f r die Verformung ($\epsilon$)
und der Gleichung f r der Volumen ($V$)
erhalten wir:
Mit dem Hookeschen Gesetz f r die Federkraft ($F_k$), die Hookes Konstante ($k$) und die Verlängerung ($u$) wie folgt:
und dem Ausdruck f r die Hookes Konstante ($k$) in Bezug auf der Körperlänge ($L$), die Körper Sektion ($S$), der Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$), die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) und die Mikroskopische Hook-Konstante ($k_m$):
in Kombination mit dem Ausdruck f r der Elastizitätsmodul ($E$):
ergibt sich:
Da die Verformungsenergie ($W$) in Beziehung zu der Volumen ($V$), der Elastizitätsmodul ($E$) und die Verformung ($\epsilon$) wie folgt steht:
Wenn wir die Verformung ($\epsilon$) in der Gleichung durch die Spannung ($\sigma$) ersetzen:
Erhalten wir:
Die Federkraft ($F_k$) ist eine Funktion, die von der Elastizitätsmodul ($E$), die Körper Sektion ($S$), die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$) abh ngt.
Diese Funktion kann unter Verwendung der Definition von die Spannung ($\sigma$)
und der Definition von die Verformung ($\epsilon$)
ausgedr ckt werden, was zu
f hrt
Die Verformungsenergie ($W$) wird in Abh ngigkeit von der Volumen ($V$), der Elastizitätsmodul ($E$) und die Verformung ($\epsilon$) wie folgt ausgedr ckt:
Und mit die Verformungsenergiedichte ($w$) definiert als:
Erhalten wir:
ERROR:8844 mit ERROR:8843, ERROR:8838, die Verformung in Richtung senkrecht zur Kraft ($\epsilon_{\perp}$) und der Poisson Koeffizient ($\nu$) wird wie folgt ausgedr ckt:
Wenn wir die Verformung in Richtung senkrecht zur Kraft ($\epsilon_{\perp}$) durch die Gleichung ersetzen:
Erhalten wir den urspr nglichen Ausdruck:
Beispiele
Da das Hookesche Gesetz die Federkraft ($F_k$) durch die Hookes Konstante ($k$) und die Verlängerung ($u$) auf folgende Weise in Beziehung setzt:
kann man die Hookes Konstante ($k$) durch den mikroskopischen Ausdruck ersetzen und unter Verwendung der Definition von der Elastizitätsmodul ($E$) ergibt sich mit der Körperlänge ($L$) und die Körper Sektion ($S$), dass:
Die Federkraft ($F_k$) ist eine Funktion von der Elastizitätsmodul ($E$), die Körper Sektion ($S$), die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$).
In diesem Fall wird das Verh ltnis zwischen die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$) durch die Verformung ($\epsilon$) dargestellt, das wie folgt definiert werden kann:
Im Allgemeinen wird die Verformung ($\epsilon$) als die Ver nderung von die Verlängerung ($u$) im Verh ltnis zu der Körperlänge ($L$) definiert:
Dieses Konzept kann im mikroskopischen Grenzwert verallgemeinert werden, indem die Verformung in der Koordinaten $i$ ($\epsilon_i$) als die Variation der Verschiebung in i ($\partial u_i$) ber der Länge eines Elements in i ($\partial x_i$) in Richtung $i$ eingef hrt wird, und es w rde wie folgt ausgedr ckt:
Der Grund f r die Verwendung eines anderen Symbols, um das Differential auszudr cken
$d \rightarrow \partial$
ist, dass es verschiedene Differentiale gibt, die verschiedene Variablen im Modell beeinflussen. Die Verwendung des Symbols $\partial$ zeigt an, dass eine Variation nach der anderen durchgef hrt werden sollte, was bedeutet, dass bei Betrachtung einer Variable die verbleibenden Variablen ihre Anfangswerte annehmen.
Die Federkraft ($F_k$) ist eine Funktion, die von der Elastizitätsmodul ($E$), die Körper Sektion ($S$), die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$) abh ngt.
Ebenso, genau wie die Verformung ($\epsilon$) eingef hrt wird, um die Verwendung der Dimension der Körperlänge ($L$) zu vermeiden, k nnen wir einen Faktor konstruieren, der die Federkraft ($F_k$) in Abh ngigkeit von die Körper Sektion ($S$) als die Spannung ($\sigma$) ausdr ckt.
Die Federkraft ($F_k$) ist eine Funktion, die von der Elastizitätsmodul ($E$), die Körper Sektion ($S$), die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$) abh ngt.
Diese Funktion kann unter Verwendung der Definitionen von die Spannung ($\sigma$) und die Verformung ($\epsilon$) umgeschrieben werden, was zur kontinuierlichen Version des Hookschen Gesetzes f hrt:
Das Hookesche Gesetz f r ERROR:8845, ERROR:8843 und ERROR:8838 ist wie folgt ausgedr ckt:
Dieses Gesetz kann f r die Spannung auf der Achse $i$ ($\sigma_i$) und die Verformung in der Koordinaten $i$ ($\epsilon_i$) wie folgt verallgemeinert werden:
Die Gesamtmasse der Volumen ($V$) des K rpers wird unter Verwendung von die Körper Sektion ($S$) und der Körperlänge ($L$) berechnet:
hnlich wie bei einer Feder erfordert die Verformung eines Materials Energie. Die Energie der Arbeit ($W$), die ben tigt wird, um das Material zu komprimieren oder zu expandieren, wird als das Integral von die Federkraft ($F_k$) entlang des Weges $ds$ w hrend der Verformung berechnet:
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
Im Fall des kontinuierlichen Hooke'schen Gesetzes reduziert sich dies zu:
Da die Verformungsenergie ($W$) in Beziehung zu der Volumen ($V$), der Elastizitätsmodul ($E$) und die Verformung ($\epsilon$) steht, kann es wie folgt ausgedr ckt werden:
Unter Verwendung des Hooke'schen Gesetzes k nnen wir die Verformung ($\epsilon$) in Bezug auf die Spannung ($\sigma$) ersetzen, was zu folgendem f hrt:
F r die Verformungsenergie ($W$), die in ein Volumen ($V$) enthalten ist, k nnen wir die Verformungsenergiedichte ($w$) wie folgt definieren:
Die Verformungsenergie ($W$) in Abh ngigkeit von der Volumen ($V$), der Elastizitätsmodul ($E$) und die Verformung ($\epsilon$) ist gleich
Daher erhalten wir, wenn wir durch der Volumen ($V$) teilen, die Verformungsenergiedichte ($w$), das wie folgt definiert ist:
Die seitliche Verformung steht direkt im Verh ltnis zur Verformung, die sie verursacht. Der Proportionalit tskoeffizient wird als der Poisson Koeffizient ($\nu$) [1] bezeichnet und liegt normalerweise im Bereich von 0,15 bis 0,4.
Wenn die urspr ngliche Verformung die Verformung ($\epsilon$) betr gt und die erzeugte Verformung die Verformung in Richtung senkrecht zur Kraft ($\epsilon_{\perp}$) ist, ergibt sich folgende Beziehung:
In der linearen N herung repr sentiert der Poisson'sche Koeffizient das Verh ltnis zwischen seitlichen und longitudinalen Verformungen.
wobei das Vorzeichen darauf hinweist, dass die Verformung in entgegengesetzter Richtung zur Ursache erfolgt.
[1] Dieses Konzept wurde von Sim on Denis Poisson in einer Arbeit zur statistischen Analyse eingef hrt, in der er unter anderem Themen behandelt, die nichts mit Mechanik zu tun haben. Er erw hnt darin, was sp ter als der Poisson'sche Koeffizient in einem Beispiel zur Elastizit t bezeichnet wurde. Die Arbeit tr gt den Titel "Recherches sur la Probabilit des Jugements en Mati re Criminelle et en Mati re Civile" (Forschungen zur Wahrscheinlichkeit von Urteilen in Straf- und Zivilsachen), verfasst von Sim on Denis Poisson (1837).
ERROR:8844 als Funktion von ERROR:8843 und ERROR:8838 ist gleich
Diese Gleichung dr ckt ERROR:8844 ohne Ber cksichtigung von die Verformung in Richtung senkrecht zur Kraft ($\epsilon_{\perp}$) aus, das durch den Poisson-Koeffizienten mit ERROR:8838 verbunden ist. ERROR:8844 kann als Funktion von ERROR:8838 und die Verformung in Richtung senkrecht zur Kraft ($\epsilon_{\perp}$) mit folgender Gleichung ausgedr ckt werden:
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