Utilizador:
Densidade de fluxo e condutividade hidráulica
Conceito
La densidade de fluxo ($j_s$) pode ser expresso em termos de la condutividade hidráulica ($K_s$), no limite infinitesimal com la diferencial de altura da coluna ($dh$) e la diferencial de distância ($dx$), da seguinte forma:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Isso significa que quanto mais íngreme for o gradiente ou quanto mais íngreme for o terreno, maior será o valor de la densidade de fluxo ($j_s$), como ilustrado no gráfico:
O gráfico mostra como as barras com valores iguais de diferencial de distância ($dx$) têm valores progressivamente menores de diferencial de altura da coluna ($dh$), resultando em um valor decrescente de densidade de fluxo ($j_s$). Como o volume do líquido é conservado, isso só é possível se houver outro fluxo que compense essa redução em densidade de fluxo ($j_s$). Isso poderia ser um fluxo perpendicular ao mostrado no gráfico, por exemplo, se as barras mais curtas forem mais largas em uma direção perpendicular ao gráfico.
Este problema leva às seguintes considerações:
A altura $h$ do líquido só pode ser calculada como resultado da solução de uma equação diferencial, uma vez que deve satisfazer a exigência de que o volume seja conservado em toda a área onde ocorre o fluxo.
Além disso, é importante ter em mente que:
O sinal negativo reflete o fato de que o fluxo sempre ocorre da zona de maior altitude para a zona de menor altitude. Se a inclinação for negativa, o sinal negativo resulta em um fluxo positivo (da esquerda para a direita), e, inversamente, se a inclinação for positiva, o fluxo é negativo (da direita para a esquerda).
ID:(930, 0)
Equação de fluxo em uma dimensão
Conceito
Se estudarmos o caso unidimensional, descrevendo o processo ao longo do eixo $x$, podemos observar como a altura da coluna $\Delta h$ varia durante um intervalo de tempo $\Delta t$. Neste caso, uma coluna com largura $\Delta x$ mudará seu volume por unidade de comprimento ao longo do tempo como $\Delta x \Delta h/\Delta t$. Por outro lado, a quantidade de líquido que entra ao longo da coluna em $x$ é $h(x) j_s(x)$, enquanto em $x+\Delta x$ sai como $h(x+\Delta x) j_s(x+\Delta x)$:
Portanto, a variação de la altura da coluna d'água no solo ($h$) ao longo do tempo é igual à variação do produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la densidade de fluxo ($j_s$) na posição:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
As derivadas parciais são semelhantes às derivadas ordinárias, com a diferença de que são aplicadas a funções que dependem de mais de uma variável. Nesses casos, a derivada parcial, representada pelo símbolo $\partial$, lembra a derivada comum representada pela letra $d$, mas com a particularidade de que as variáveis não mencionadas no denominador são mantidas constantes.
ID:(2290, 0)
Fluir para um canal
Conceito
No caso do fluxo em direção a um canal, o sistema pode ser modelado de forma unidimensional, onde la altura da coluna d'água no solo ($h$) é uma função de la posição da coluna d'água no solo ($x$) que representa la densidade de fluxo ($j_s$) e satisfaz a condição
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
com o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) definindo o perfil da água no solo:
A chave dessa equação é que o produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la densidade de fluxo ($j_s$) deve ser sempre constante. Nesse sentido, se la altura da coluna d'água no solo ($h$) aumenta, la densidade de fluxo ($j_s$) diminui e vice-versa. Além disso, o sinal permanece o mesmo; portanto, o fluxo em direção ao canal, ou seja, o fluxo negativo, ocorrerá apenas quando o nível do lençol freático estiver mais alto do que o do canal. À medida que o líquido se aproxima do canal, o nível do lençol freático diminui, levando a um aumento na densidade do fluxo.
ID:(15104, 0)
Solução de altura de fluxo em direção a um canal
Conceito
A solução para a equação de fluxo unidimensional em direção a um canal, onde la altura da coluna d'água no solo ($h$) é calculado como função de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$) na borda do canal, juntamente com o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), assume a seguinte forma:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Esta solução é representada graficamente em termos dos fatores adicionais $h/h_0$ e $x/s_0$ da seguinte forma:
O perfil revela que, longe do canal, a altura da coluna de água é significativamente alta. No entanto, devido à extração de água pelo canal, essa altura começa a diminuir até alcançar a borda do canal. Dinamicamente, la densidade de fluxo ($j_s$) determina a quantidade de água que flui para o canal, enquanto la altura de referência da coluna de água ($h_0$) se ajusta gradualmente até atingir um estado de equilíbrio. Em outras palavras, se o valor de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) for muito baixo em relação à quantidade total de água que chega ao canal, ele aumenta; e se for muito alto, diminui. Dessa forma, la altura de referência da coluna de água ($h_0$) adquire o valor que equilibra a quantidade de água que entra com a quantidade de água que flui pelo canal.
ID:(15109, 0)
Solução de densidade de fluxo em direção a um canal
Conceito
A solução obtida para a altura e os parâmetros o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) revela que la densidade de fluxo ($j_s$) é dado por:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Podemos representar graficamente la densidade de fluxo ($j_s$) em função dos fatores adicionais $j_s/j_{s0}$ e $x/s_0$ da seguinte maneira:
É perceptível que la densidade de fluxo ($j_s$) continua a aumentar à medida que nos aproximamos do canal, à medida que la altura da coluna d'água no solo ($h$) diminui. Esse aumento é necessário para manter a velocidade do fluxo em la densidade de fluxo ($j_s$) ou, alternativamente, para aumentá-la.
ID:(15110, 0)
Fluxo de um canal
Conceito
No caso em que o fluxo emerge do canal, ocorre uma situação em que o nível de la altura da coluna d'água no solo ($h$) deve diminuir à medida que nos afastamos do canal, garantindo a existência do gradiente de pressão que impulsiona o fluxo. O problema é que, se o fluxo se move rapidamente dentro do meio, a altura tenderá a zero e, como resultado, o fluxo se aproximará do infinito, o que não faz sentido.
Isso significa que não existe uma solução estacionária nesse cenário e a única solução é para o meio se encher até atingir a altura do canal, efetivamente tornando-se constante.
A questão é se existe uma situação estacionária não trivial que represente um cenário real e interessante. Um caso possível é quando o nível do meio diminui a ponto de ficar mais baixo do que a coluna antes que a solução diverja. Esse caso corresponde à situação em que o fluxo emerge na superfície e não há divergência na solução. Isso implicaria que um fluxo é gerado e sai para o exterior em um ponto específico, com o risco de enfraquecer a fundação e, assim, desestabilizar o meio, que age como uma represa.
ID:(4746, 0)
Situação que atende às condições limite
Conceito
Se considerarmos uma situação em que o fluxo do canal pode emergir na superfície, temos um cenário em que o fluxo entra e depois sai do meio, tornando a solução viável.
A emergência na superfície simplesmente implica que a altura da coluna de líquido se torna maior do que a do meio circundante. Na verdade, semelhante ao caso do fluxo em direção a um canal, isso geraria água na superfície, que, se não for permitida a escoar, realmente formaria um novo canal.
No caso do fluxo saindo de um canal, é possível modelar o sistema de forma unidimensional, onde la altura da coluna d'água no solo ($h$) é uma função de la posição da coluna d'água no solo ($x$) que representa la densidade de fluxo ($j_s$) e satisfaz a seguinte condição:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Com o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) definindo o perfil da água no solo, como mostrado na imagem a seguir:
A chave da equação está no fato de que o produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la densidade de fluxo ($j_s$) deve permanecer constante o tempo todo. Nesse sentido, se la altura da coluna d'água no solo ($h$) aumentar, la densidade de fluxo ($j_s$) diminuirá e vice-versa. Além disso, o sinal permanece o mesmo. Portanto, o fluxo do canal, ou seja, o fluxo positivo, ocorrerá apenas se a altura do canal for maior do que a do ponto onde o fluxo emerge. À medida que o líquido se afasta do canal, a altura diminuirá e a densidade do fluxo aumentará.
ID:(4370, 0)
Solução de altura de fluxo de um canal
Conceito
A solução da equação de fluxo unidimensional a partir de um canal, na qual o valor de la altura da coluna d'água no solo ($h$) é calculado em função de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$) na borda do canal, juntamente com o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), assume a seguinte forma:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $ |
Essa solução é representada graficamente em termos dos fatores adicionais $h/h_0$ e $x/x_0$ da seguinte maneira:
O perfil revela que a altura diminui à medida que nos afastamos do canal para manter um gradiente de pressão. No entanto, surge um problema quando a distância atinge a metade de o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), pois a altura da coluna chega a zero e não há solução para distâncias maiores (o argumento da raiz quadrada se torna negativo). Em outras palavras, para que a solução faça sentido, deve haver um mecanismo que remova o líquido antes de atingir essa distância crítica.
ID:(4374, 0)
Solução de densidade de fluxo de um canal
Conceito
A solução obtida para a altura e os parâmetros o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) nos mostra que la densidade de fluxo ($j_s$) é igual a:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }}} $ |
Podemos representar la densidade de fluxo ($j_s$) graficamente em termos dos fatores adicionais $j_s/j_{s0}$ e $x/x_0$ da seguinte maneira:
la densidade de fluxo ($j_s$) continua aumentando à medida que nos aproximamos do canal, à medida que la altura da coluna d'água no solo ($h$) diminui. Esse aumento é necessário para manter a velocidade do fluxo em la densidade de fluxo ($j_s$) ou, alternativamente, aumentá-la.
ID:(7827, 0)
Barragem I - Mina Córrego do Feijão
Conceito
Um exemplo que ilustra o efeito do fluxo através da base no caso de uma barragem ocorreu na Barragem 1 da mina 'Córrego do Feijão' em Brumadinho, Minas Gerais, Brasil.
Em 25 de janeiro de 2019, a Barragem 1, que está no centro da imagem, colapsou, como mostram as imagens de 1 a 6. Inicialmente, a base começou a se mover enquanto o topo começou a afundar. Eventualmente, um fluxo de água emergiu da base enquanto toda a estrutura colapsava. Na imagem central inferior, você pode ver a situação após a barragem ter se esvaziado completamente do lado que a continha ([1], [2]):
A imagem superior esquerda mostra a barragem antes do colapso, e o diagrama explica como a água pressiona a superfície da base (setas azuis) e faz com que o centro colapse (seta bege). As imagens mostram a estrutura novamente antes do colapso (foto superior direita), quando a base está sendo forçada, causando o colapso da parte superior (foto inferior esquerda) e o fluxo de água resultante na base (foto inferior direita) [3]:
A dinâmica é impulsionada pela alta pressão e alto fluxo que existem na base, explicando o surgimento da água por esse caminho.
Nesse caso, houve múltiplos sinais de perigo, o que levou a um monitoramento detalhado por satélite do movimento de vários pontos por mais de um ano. Os pontos estão indicados na foto superior, e na segunda imagem à esquerda inferior, você pode ver um detalhe da base. Especificamente, os pontos que experimentaram o maior deslocamento total (Bs e Bp) são destacados, e esses pontos também são mostrados no gráfico à direita. O gráfico também mostra a quantidade de chuva, que contribui em parte, mas não é necessariamente um fator-chave [4]:
Este exemplo tem como objetivo demonstrar como a alta pressão na base, combinada com um alto fluxo de água, contribui para a dinâmica observada, sem necessariamente explicar quando ou como ela se tornou instável. Isso será explorado mais adiante.
[1] Google Earth Pro para Brumadinho, Minas Gerais, Brasil, janeiro de 2019 e fevereiro de 2019
[2] Câmeras da Vale S.A.
[3] Procedimento Investigatório Criminal nº MPMG-0090.19.000013-4, Inquérito Policial nº PCMG-7977979, MINISTÉRIO PÚBLICO DO ESTADO DE MINAS GERAIS
[4] Deformações Anteriores ao Colapso da Barragem de Brumadinho Reveladas por Dados InSAR do Sentinel-1 Usando Técnicas SBAS e PSI, Fábio F. Gama, José C. Mura, Waldir R. Paradella e Cleber G. de Oliveira, MDPI, Remote Sens. 2020, 12, 3664.
ID:(4378, 0)
Flua para um poço
Conceito
No caso do fluxo de água subterrânea em direção a um poço, la altura da coluna d'água no solo ($h$) como uma função de o raio do centro do poço ($r$) com o raio do poço de água ($r_0$), o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) é representado por
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
o que define o perfil da água no solo:
ID:(4371, 0)
Solução de altura de fluxo em direção a um poço
Conceito
A solução para a equação de fluxo unidimensional em direção a um poço, na qual o valor de la altura da coluna d'água no solo ($h$) é calculado como uma função de o raio do centro do poço ($r$), la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o raio do poço de água ($r_0$) na borda do poço, juntamente com o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), tem a seguinte forma:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
Esta solução é representada graficamente em termos dos fatores adicionais $h/h_0$ e $r/r_0$ para vários valores de $r_0/s_0$, da seguinte forma:
O perfil revela que, longe do poço, a altura da coluna de água é significativamente alta. No entanto, devido à extração de água pelo poço, essa altura começa a diminuir até alcançar a borda do poço. De forma dinâmica, la densidade de fluxo ($j_s$) determina a quantidade de água que flui em direção ao poço, enquanto la altura de referência da coluna de água ($h_0$) se ajusta gradualmente para atingir um estado de equilíbrio. Em outras palavras, se o valor de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) for muito baixo em relação à quantidade total de água que chega ao poço, ele aumenta, e se for muito alto, diminui. Dessa forma, la altura de referência da coluna de água ($h_0$) adquire o valor que equilibra a quantidade de água que chega com a quantidade de água que é extraída através do poço.
ID:(10591, 0)
Solução de densidade de fluxo em direção a um poço
Conceito
A solução obtida para a altura e os parâmetros o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e o raio do centro do poço ($r$), o raio do poço de água ($r_0$), o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) nos mostra que la densidade de fluxo ($j_s$) é igual a:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
Esta solução é representada graficamente em termos dos fatores adicionais $j_s/j_{s0}$ e $r/r_0$ para vários valores de $r_0/s_0$ da seguinte forma:
la densidade de fluxo ($j_s$) continua a aumentar à medida que nos aproximamos do canal, enquanto la altura da coluna d'água no solo ($h$) diminui. Esse aumento é necessário para manter a velocidade do fluxo em la densidade de fluxo ($j_s$) ou, alternativamente, para aumentá-la.
ID:(2209, 0)
Modelo
Conceito
Variáveis
Parâmetros
Parâmetro selecionado
Cálculos
Equação
$ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $
&j_s = - K_s * @GRAD( h , x )
$ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $
h * &D^2 h + &D h * &D h = 0
$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ x_0 } $
h * @DIFF( h , x, 1) = - h_0 ^2/ x_0
$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $
h * @DIFF( h , x, 1) = h_0 ^2/ s_0
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $
h / h_0 = sqrt(1 + 2* r_0 *log( r / r_0 )/ s_0 )
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $
h / h_0 = sqrt(1 + 2* x / s_0 )
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $
h / h_0 = sqrt(1 - 2* x / x_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $
j / j_s0 = 1/sqrt(1 + 2* x / s_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }}} $
j / j_s0 = 1/sqrt(1 - 2* x / x_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$
j = j_s0 /(( r / r_0 )*sqrt(1 + 2* r_0 *log( r / r_0 )/ s_0 ))
$ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$
j_s = - k_s * dp /( eta * dx )
$ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $
k_s = eta * K_s /( rho_w * g )
$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$
K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta )
$ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$
k_s = r_0 ^2 * f ^3/(8* q_0 *(1 - f )^2)
$ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $
r * @DIFF( h ^2, r, 1) = h_0 ^2* r_0 / s_0
$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$
s_0 = abs( j_s0 )/( K_s * h_0 )
$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$
D_t h = - &D * (h &j_s)
ID:(15224, 0)
Condutividade hidráulica do solo
Equação
O fluxo de líquido em um meio poroso, como o solo, é medido usando a variável la densidade de fluxo ($j_s$), que representa a velocidade média com que o líquido se move através dele. Ao modelar o solo e como o líquido passa por ele, descobrimos que esse processo é influenciado por fatores como la porosidade ($f$) e o raio de um grão genérico ($r_0$), que, quando maiores, facilitam o fluxo, enquanto la viscosidade ($\eta$) dificulta a passagem pelos capilares, reduzindo a velocidade de fluxo.
O modelo incorpora eventualmente o que chamaremos de la condutividade hidráulica ($K_s$), uma variável que depende das interações entre o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la viscosidade ($\eta$) e la porosidade própria genérica ($q_0$):
 $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Uma vez que la densidade de fluxo ($j_s$) está relacionado com o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la viscosidade ($\eta$), la porosidade própria genérica ($q_0$), la diferença de altura ($\Delta h$) e o comprimento da amostra ($\Delta L$) através da equação:
| $ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$ |
Podemos definir um fator que chamaremos de la condutividade hidráulica ($K_s$) da seguinte forma:
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Este fator abrange todos os elementos relacionados às propriedades do solo e do líquido que flui através dele.
la condutividade hidráulica ($K_s$) expressa a facilidade com que o líquido é conduzido através do meio poroso. Na verdade, la condutividade hidráulica ($K_s$) aumenta com la porosidade ($f$) e o raio de um grão genérico ($r_0$) e diminui com la porosidade própria genérica ($q_0$) e la viscosidade ($\eta$).
ID:(4739, 0)
Permeabilidade do solo
Equação
La condutividade hidráulica ($K_s$) representa a condução do líquido no meio. Uma parte de la condutividade hidráulica ($K_s$) é inerente ao próprio meio, enquanto outra parte contém as constantes que descrevem o comportamento do líquido. Portanto, faz sentido introduzir uma nova constante que seja específica do meio e não do líquido que flui através dele.
Assim, la permeabilidade do solo ($k_s$) está relacionado com o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$) e la porosidade própria genérica ($q_0$) por meio da seguinte definição:
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
Já que la condutividade hidráulica ($K_s$) está relacionado com o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la viscosidade ($\eta$) e la porosidade própria genérica ($q_0$) através da equação:
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Podemos definir a parte que depende exclusivamente do solo como la permeabilidade do solo ($k_s$), expressando-a da seguinte forma:
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
ID:(10595, 0)
Permeabilidade e condutividade hidráulica
Equação
La permeabilidade do solo ($k_s$) pode ser calculado a partir de la condutividade hidráulica ($K_s$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la viscosidade ($\eta$) usando a seguinte expressão:
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
La permeabilidade do solo ($k_s$) está relacionado com o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$) e la porosidade própria genérica ($q_0$), ele é igual a
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
Portanto, com a equação para la condutividade hidráulica ($K_s$), juntamente com la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la viscosidade ($\eta$),
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
resulta na relação entre la permeabilidade do solo ($k_s$) e la condutividade hidráulica ($K_s$) como
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
Geralmente, as medições para caracterização do solo são realizadas utilizando um líquido específico, resultando em um valor de uma condutividade hidráulica ($K_s$). Com esse valor, é possível calcular la permeabilidade do solo ($k_s$) usando a equação mencionada acima.
ID:(34, 0)
Densidade de fluxo e gradiente de pressão
Equação
La densidade de fluxo ($j_s$) pode ser expresso em função de la altura da coluna d'água no solo ($h$) ou, com base em la pressão da coluna de água ($p_t$) gerado pela coluna de líquido. Usando a definição de la permeabilidade do solo ($k_s$) em termos de la condutividade hidráulica ($K_s$), obtemos a seguinte expressão para la viscosidade ($\eta$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$):
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$ |
La diferença de pressão ($\Delta p$) em relação a la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la diferença de altura ($\Delta h$) é calculado de acordo com a seguinte equação:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
no limite infinitesimal em que la diferença de pressão ($\Delta p$) é igual a la diferencial de pressão ($dp$), denotado como:
$\Delta p \rightarrow dp$
e em que la diferença de altura ($\Delta h$) é igual a la diferencial de altura da coluna ($dh$), denotado como:
$\Delta h \rightarrow dh$
Usando a relação de la densidade de fluxo ($j_s$) com la condutividade hidráulica ($K_s$), la diferencial de altura da coluna ($dh$) e la diferencial de distância ($dx$), que é expressa como:
| $$ |
e a relação para la permeabilidade do solo ($k_s$) com la viscosidade ($\eta$), que é expressa como:
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
Podemos derivar a seguinte equação:
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$ |
ID:(45, 0)
Densidade de fluxo e gradiente de altura em mais dimensões
Equação
Dado que a equação unidimensional para la densidade de fluxo ($j_s$) é expressa como la condutividade hidráulica ($K_s$), la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$) da seguinte forma:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
É possível generalizar esta equação para o caso de um meio homogêneo, resultando em uma equação para la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$) onde la condutividade hidráulica ($K_s$) permanece constante, da seguinte maneira:
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
ID:(999, 0)
Equação de fluxo em mais de uma dimensão
Equação
Se generalizarmos a equação em uma dimensão para la altura da coluna d'água no solo ($h$) em função de o tempo ($t$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$) com la densidade de fluxo ($j_s$):
e substituirmos a derivada parcial por uma divergência, obtemos com la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$):
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
ID:(15111, 0)
Solução estática em uma dimensão
Equação
No caso da equação de altura unidimensional, expressa como:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
Podemos estudar o caso estacionário, o que implica que la altura da coluna d'água no solo ($h$) dividido por la densidade de fluxo ($j_s$) deve ser constante e, em particular, pode assumir valores em um ponto específico representado por la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$):
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Se, para la altura da coluna d'água no solo ($h$) dividido por la densidade de fluxo ($j_s$), a equação
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
no caso estacionário se reduz a
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
o que corresponde ao produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) por la densidade de fluxo ($j_s$) sendo constante. Se você tiver valores para um ponto específico definido por la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$), então você tem:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Nota: A equação diferencial é uma equação diferencial ordinária porque depende apenas da posição $x$ e não mais do tempo $t$.
ID:(15107, 0)
Comprimento característico do fluxo no solo
Equação
Com la condutividade hidráulica ($K_s$), o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$), pode-se definir um comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) da seguinte forma:
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
Para não complicar a análise, definimos a expressão considerando o valor absoluto de o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$), evitando assim situações em que ele seja negativo. Isso significa que, dependendo do sinal de o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$), devemos estabelecer a relação assumindo um valor positivo ou negativo para a derivada, o que define a direção do fluxo.
ID:(4747, 0)
Equação de fluxo em um canal
Equação
A equação diferencial para calcular la altura da coluna d'água no solo ($h$) como função de la posição da coluna d'água no solo ($x$), la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) é a seguinte:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
A equação para o produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la densidade de fluxo ($j_s$) como função de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) é a seguinte:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
E com a equação que descreve la densidade de fluxo ($j_s$) em termos de la condutividade hidráulica ($K_s$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$):
| $$ |
E com a expressão para o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$):
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
Podemos derivar a equação resultante da seguinte maneira:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
ID:(15108, 0)
Altura do fluxo em um canal
Equação
A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) como função de o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e dependente de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) é a seguinte:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
Esta equação pode ser resolvida analiticamente para as condições dadas com la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) na fronteira do canal da seguinte forma:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) como função de o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e dependente de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) é a seguinte:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
Podemos rearranjá-la para facilitar a integração da seguinte maneira:
$h dh = \displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$
Em seguida, integrando em relação a $h_0$, a altura na origem, obtemos:
$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =\displaystyle\frac{h_0^2}{s_0}x$
Isso nos leva à seguinte expressão:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
ID:(15105, 0)
Densidade de fluxo em um canal
Equação
La densidade de fluxo ($j_s$) está relacionado com la condutividade hidráulica ($K_s$), la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$), resultando em
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Portanto, com a solução para la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) dados la posição da coluna d'água no solo ($x$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), obtemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Com a solução para la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) dados la posição da coluna d'água no solo ($x$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), temos:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Podemos calcular la densidade de fluxo ($j_s$) com la condutividade hidráulica ($K_s$) usando:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
e empregando
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
desta forma, obtemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
ID:(15106, 0)
Equação de fluxo de um canal
Equação
A equação diferencial para calcular la altura da coluna d'água no solo ($h$) em termos de la posição da coluna d'água no solo ($x$), la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) é a seguinte:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ x_0 } $ |
Neste caso, o sinal da inclinação é negativo, pois a altura deve diminuir para gerar o gradiente de pressão necessário para mover o líquido.
ID:(4369, 0)
Altura do fluxo de um canal
Equação
A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) como função de o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), que depende de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), é a seguinte:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ x_0 } $ |
Esta equação pode ser resolvida analiticamente para as condições dadas com la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) na borda do canal da seguinte maneira:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $ |
A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) como função de o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), que depende de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), é a seguinte:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ x_0 } $ |
Podemos reorganizá-la para facilitar a integração da seguinte maneira:
$h dh = -\displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$
Em seguida, integrando em relação a $h_0$, a altura na origem, obtemos:
$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =-\displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}x$
Isso nos leva à seguinte expressão:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $ |
ID:(2214, 0)
Densidade de fluxo de um canal
Equação
La densidade de fluxo ($j_s$) está relacionado com la condutividade hidráulica ($K_s$), la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$), resultando em:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Portanto, com a solução para la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) dados la posição da coluna d'água no solo ($x$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), obtemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }}} $ |
Com a solução para la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) dados la posição da coluna d'água no solo ($x$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), obtemos:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $ |
Podemos calcular la densidade de fluxo ($j_s$) com la condutividade hidráulica ($K_s$) usando:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
e utilizando
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
desta forma, obtemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }}} $ |
ID:(4742, 0)
Solução estática em mais de uma dimensão
Equação
A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) com o tempo ($t$) e la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$) é a seguinte:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
No caso estacionário e usando a equação para la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$), ao expandir as derivadas, obtemos:
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) com o tempo ($t$) e la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$) é:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
em relação a
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
resulta após substituir e desenvolver a derivada
$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t}=-\vec{\nabla}\cdot(h\vec{j}_s)= K_s\vec{\nabla}\cdot(h\nabla h)=K_s(\vec{\nabla} h\cdot\vec{\nabla} h + h \nabla^2 h)$
que, no caso estacionário, se reduz a
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
ID:(4375, 0)
Equação de fluxo em um poço
Equação
No caso do poço, podemos trabalhar com um sistema de coordenadas polares e assumir simetria angular, o que significa que la altura da coluna d'água no solo ($h$) depende apenas de o raio do centro do poço ($r$) e satisfaz a equação
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
Como la altura da coluna d'água no solo ($h$) satisfaz
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
e em coordenadas polares com o raio do centro do poço ($r$) para o caso de simetria angular, temos
$\vec{\nabla}h = \displaystyle\frac{du}{dr}\hat{r}$
e
$ \nabla ^2h = \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh}{dr}\right)$
obtemos
$\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}\right)=0$
ou
$r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=C$
com $C$ como uma constante. Por outro lado, a equação com la condutividade hidráulica ($K_s$) e la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$)
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
em coordenadas polares com simetria rotacional se reduz a
$j_s = - K_s \displaystyle\frac{dh}{dr}$
o que na superfície do poço com o raio do poço de água ($r_0$), o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) leva à conclusão de que com
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
nós temos
$C=r_0\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=r_02h_0\displaystyle\frac{dh}{dr}=2r_0h_0\displaystyle\frac{|j_{s0}|}{K_sh_0}=2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}$
resultando em
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
ID:(4430, 0)
Altura do fluxo em um poço
Equação
No caso do fluxo em direção a um poço, la altura da coluna d'água no solo ($h$) como uma função de o raio do centro do poço ($r$) com o raio do poço de água ($r_0$), o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) é representado por
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
Esta equação pode ser resolvida analiticamente para as condições dadas, com o raio do poço de água ($r_0$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) na borda do poço, da seguinte forma:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) em função de o raio do centro do poço ($r$) com o raio do poço de água ($r_0$), o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) é a seguinte:
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
Esta equação pode ser rearranjada para facilitar a integração da seguinte forma:
$dh^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\displaystyle\frac{dr}{r}$
Em seguida, integrando ambos os lados, obtemos a altura na parede do poço com la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o raio do poço de água ($r_0$):
$h^2 - h_0^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)$
Finalmente, rearranjando la altura da coluna d'água no solo ($h$), obtemos:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
ID:(10593, 0)
Densidade de fluxo em um poço
Equação
La densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$) está relacionado com la condutividade hidráulica ($K_s$) e em coordenadas polares com simetria angular o raio do centro do poço ($r$), o que resulta em
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
Portanto, com a solução para la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) dados o raio do centro do poço ($r$), o raio do poço de água ($r_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), obtemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
Com a solução para la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) dados o raio do centro do poço ($r$), o raio do poço de água ($r_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), obtemos:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
Podemos calcular la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$) a partir de la condutividade hidráulica ($K_s$) da seguinte forma:
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
E com la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) utilizando
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
desta forma, obtemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
ID:(4368, 0)