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Résoudre des Problèmes avec des réseaux d\'équations
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Les modèles peuvent être exprimés sous forme de réseaux d\'équations dans lesquels les différents nœuds sont les variables du système.
Une fois le réseau établi, il est possible d\'identifier directement les équations permettant de calculer chaque variable.
En identifiant les variables qui sont données, il est possible de trouver les équations à utiliser et les éventuelles variables intermédiaires nécessaires avec leurs équations qui permettent ledit calcul.
L\'identification du modèle correct pour le problème à résoudre permet non seulement de trouver rapidement les équations nécessaires, mais réduit également le risque d\'utiliser une équation qui ne s\'applique pas au cas à calculer.
ID:1932
Équation : le chemin parcouru
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L\'équation du chemin parcouru
$\Delta s = s - s_0$
Il peut être représenté comme un nœud (céleste) associé aux nœuds de la variable du chemin parcouru $\Delta s$, la position initiale $s_0$ et la position finale :
Équation du chemin parcouru
Des images des briques LEGO, y compris la représentation de l\'équation, sont incluses.
ID:14379
Équation : le temps écoulé
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L\'équation du temps écoulé
$\Delta t = t - t_0$
Il peut être représenté comme un nœud (céleste) associé aux nœuds de la variable du temps écoulé $\Delta t$, du temps initial $t_0$ et du temps final:
Équation du temps écoulé
Des images des briques LEGO, y compris la représentation de l\'équation, sont incluses.
ID:14380
Équation : la vitesse
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L\'équation de la vitesse
$v = \displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}$
Il peut être représenté comme un nœud (céleste) associé aux nœuds de la variable de vitesse $v$, du chemin parcouru $\Delta s$ et du temps écoulé $\Delta t$ :
Équation de vitesse
Des images des briques LEGO, y compris la représentation de l\'équation, sont incluses.
ID:14381
Équation : de position
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Avec les trois équations déjà entrées, une quatrième équation peut être établie qui permet de calculer la position à tout moment
$s = s_0 + v(t - t_0)$
qui peut aussi être représenté comme un nœud (céleste) associé aux nœuds de position variable $s$, position initiale $s_0$, vitesse $v$, temps initial $t_0$ et temps final $t$ :
Équation de position
Des images des briques LEGO, y compris la représentation de l\'équation, sont incluses.
ID:14382
Forment le réseau
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Si toutes les équations sont dessinées avec leurs graphiques respectifs, on voit qu\'il existe des variables communes qui peuvent être intégrées.
Il est important que chaque variable n\'apparaisse qu\'une seule fois représentée par son nœud (vide)
Formant le réseau
ID:14383
Le réseau
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Une fois les variables communes intégrées, le réseau qui représente le modèle est obtenu.
Dans ce cas, le modèle est simple, il se compose uniquement de 4 équations (nœuds célestes) liées entre elles par 7 variables (nœuds blancs).
Le réseau modèle
Un modèle plus complexe peut avoir plusieurs équations et variables. Tous liés formant un seul réseau.
ID:14384
Variables à calculer
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En principe, chaque variable du modèle peut être calculée. Dans ce cas particulier :
$s$ : Jusqu\'où allons-nous aller ?
$s_0$ : À quelle distance commençons-nous ?
$\Delta s$ : Dans quelle direction sommes-nous allés ?
$t$ : À quelle heure allons-nous arriver ?
$t_0$ : À quelle heure partons-nous ?
$\Delta t$ : Combien de temps avons-nous voyagé ?
$v$ : À quelle vitesse voyageons-nous ?
Si nous prenons en compte l\'heure à laquelle nous allons arriver, nous pouvons marquer en rouge le nœud correspondant dans le réseau modèle :
Le réseau modèle pour le calcul de l\'heure d\'arrivée.
En consultant le réseau, nous observons immédiatement les nœuds associés qui correspondent aux équations pouvant être utilisées pour calculer ladite variable. Dans ce cas, ils ont été marqués en bleu et correspondent aux équations
$s = s_0 + v(t - t_0)$
et
$\Delta t = t - t_0$
ID:14385
Variables données
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Pour calculer une variable particulière, il faut d\'abord déterminer les variables dont on nous donne les valeurs.
Pour faciliter l\'interprétation, les nœuds des variables données peuvent être marqués d\'une autre couleur (vert clair).
Le réseau du modèle avec les variables données et la variable à calculer.
De cette façon, il est facile de voir que la variable choisie ne peut pas être calculée puisque les deux équations associées présentent des variables pour lesquelles on ne connaît pas leurs valeurs (nœuds blancs).
La règle générale est
ID:14386
Stratégie de solution via la position finale
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La variable recherchée (nœud rouge) ne peut pas être calculée car dans les deux équations associées il y a d\'autres variables inconnues (nœuds blancs).
Cependant, il est possible de les calculer en utilisant d\'autres équations de réseau. Pour cela on prend par exemple la variable $s$ que l\'on peut calculer avec l\'équation du chemin parcouru :
Solution via la variable intermédiaire position finale.
Chaque fois que nous identifions une équation qui n\'a qu\'une seule inconnue (nœud blanc ou rouge), nous pouvons utiliser cette équation pour calculer cette valeur. Pour faciliter l\'interprétation on peut donner une couleur à la variable calculée (orange).
On peut ainsi généraliser la règle :
Une variable (nœud blanc ou rouge) ne peut être calculée avec une équation (nœud bleu clair) que si toutes les autres variables sont connues (nœuds vert clair ou orange).
La variable calculée en plus de la variable de recherche est appelée variable intermédiaire.
ID:14387
Stratégie de solution via le temps de déplacement
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La variable recherchée (nœud rouge) ne peut pas être calculée car dans les deux équations associées il y a d\'autres variables inconnues (nœuds blancs).
Cependant, il est possible de les calculer en utilisant d\'autres équations de réseau. Pour cela on prend par exemple la variable $\Delta t$ que l\'on peut calculer avec l\'équation du chemin parcouru :
Solution via le temps de parcours variable intermédiaire.
Chaque fois que nous identifions une équation qui n\'a qu\'une seule inconnue (nœud blanc ou rouge), nous pouvons utiliser cette équation pour calculer cette valeur. Pour faciliter l\'interprétation on peut donner une couleur à la variable calculée (orange).
On peut ainsi généraliser la règle :
Une variable (nœud blanc ou rouge) ne peut être calculée avec une équation (nœud bleu clair) que si toutes les autres variables sont connues (nœuds vert clair ou orange).
La variable calculée en plus de la variable de recherche est appelée variable intermédiaire.
ID:14388