Resolver Problemas con Redes de Ecuaciones

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Los modelos se dejan expresar en forma de redes de ecuaciones en que los distintos nodos son las variables del sistema. Una vez establecida la red se puede en forma directa identificar las ecuaciones que pueden ser empleadas para el calculo de cada variable. Al identificar las variables que son dadas se puede encontrar las ecuaciones a emplear y eventuales variables intermedias necesarias con sus ecuaciones que permiten dicho calculo. La identificación del modelo correcto para el problema que se esta abordado no solo permite encontrar en forma rápida las ecuaciones necesarias, ademas reducir el riesgo de usar una ecuación que no es aplicable para el caso que se esta calculando.

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Ecuación: el camino recorrido

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La ecuación del camino recorrido

$\Delta s = s - s_0$

se puede representar como un nodo (celeste) asociado a los nodos de la variable del camino recorrido $\Delta s$, la posición inicial $s_0$ y la posición final:

Ecuación del camino recorrido

Se incluyen las imágenes de los ladrillos de LEGO incluyendo la representación de la ecuación.

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Ecuación: el tiempo transcurrido

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La ecuación del tiempo transcurrido

$\Delta t = t - t_0$

se puede representar como un nodo (celeste) asociado a los nodos de la variable del tiempo transcurrido $\Delta t$, el tiempo inicial $t_0$ y el tiempo final:

Ecuación del tiempo transcurrido

Se incluyen las imágenes de los ladrillos de LEGO incluyendo la representación de la ecuación.

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Ecuación: la velocidad

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La ecuación de la velocidad

$v = \displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}$

se puede representar como un nodo (celeste) asociado a los nodos de la variable de la velocidad $v$, el camino recorrido $\Delta s$ y el tiempo transcurrido $\Delta t$:

Ecuación de la velocidad

Se incluyen las imágenes de los ladrillos de LEGO incluyendo la representación de la ecuación.

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Ecuación: de la posición

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Con las tres ecuaciones ya introducidas, se puede establecer una cuarta ecuación que permite calcular la posición en todo momento

$s = s_0 + v (t - t_0)$

que también se puede representar como un nodo (celeste) asociado a los nodos de la variable posición $s$, posición inicial $s_0$, velocidad $v$, tiempo inicial $t_0$ y el tiempo final $t$:

Ecuación de la posición

Se incluyen las imágenes de los ladrillos de LEGO incluyendo la representación de la ecuación.

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Formar la red

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Si se dibujan todas las ecuaciones con sus respectivos grafos, se ve que existen variables en común que pueden ser integradas.

Es importante que cada variable aparezca solo una vez representada por su nodo (blanco)

Formando la red

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La red

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Una vez integradas las variables comunes, se obtiene la red que representa al modelo.

En este caso el modelo es simple, solo consta de 4 ecuaciones (nodos celestes) ligadas entre ellas mediante 7 variables (nodos blancos)

La red del modelo

Un modelo mas complejo puede tener múltiples ecuaciones y variables. Todas ellas ligadas formando una sola red.

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Variables a calcular

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En principio toda variable del modelo puede ser calculada. En este caso en particular:

$s$: A que distancia vamos a llegar?
$s_0$: A que distancia partimos?
$\Delta s$: Que camino recorrimos?
$t$: A que hora vamos a llegar?
$t_0$: A que hora partimos?
$\Delta t$: Que tiempo viajamos?
$v$: A que velocidad viajamos?

Si tomamos en caso de la hora en que vamos a arribar, podemos marcar con rojo el nodo correspondiente en la red del modelo:

La red del modelo para el cálculo del tiempo de arribo.

Consultando la red observamos de inmediato los nodos asociados que corresponden a las ecuaciones que se pueden usar para calcular dicha variable. En este caso se marcaron en azul y corresponden a las ecuaciones

$s = s_0 + v (t - t_0)$

y

$\Delta t = t - t_0$

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Variables dadas

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Para calcular una variable en particular se deben determinar primero las variables cuyos valores se nos dan.

Para facilitar la interpretación se pueden marcar los nodos de las variables dadas con otro color (verde claro).

La red del modelo con las variables dadas y la variable a calcular.

De esta forma es fácil ver que no se puede calcular la variable escogida pues ambas ecuaciones asociadas presentan variables para los que desconocemos sus valores (nodos blancos).

La regla en general es

Solo se puede calcular una variable (nodo blanco) si todos los restantes nodos asociados a una ecuación (nodo celeste) están dados (nodos verde claro). En general no pueden haber mas de un nodo blanco.

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Estrategia de solución via posición final

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No se puede calcular la variable buscada (nodo rojo) porque en ambas ecuaciones asociadas existen otras variables desconocidas (nodos blancos).

Sin embargo es posible calcular estas mediante otras ecuaciones de la red. Para ello tomamos por ejemplo la variable $s$ que se puede calcular con la ecuación del camino recorrido:

Solución via la variable intermedia posición final.

Cada vez que identificamos una ecuación que presenta solo una incógnita (nodo blanco o rojo) podemos usar dicha ecuación para calcular dicho valor. Para facilitar la interpretación podemos dar un color a la variable calculada (naranjo).

De esta forma podemos generalizar la regla:

Una variable (nodo blanco o rojo) solo puede ser calculada con una ecuación (nodo celeste) si todas las restantes variables son conocidas (nodos verde claros o naranjos).

La variable calculada adicionalmente a la variable buscada se denomina variable intermedia.

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Estrategia de solución via tiempo de viaje

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No se puede calcular la variable buscada (nodo rojo) porque en ambas ecuaciones asociadas existen otras variables desconocidas (nodos blancos).

Sin embargo es posible calcular estas mediante otras ecuaciones de la red. Para ello tomamos por ejemplo la variable $\Delta t$ que se puede calcular con la ecuación del camino recorrido:

Solución via la variable intermedia tiempo de viaje.

Cada vez que identificamos una ecuación que presenta solo una incógnita (nodo blanco o rojo) podemos usar dicha ecuación para calcular dicho valor. Para facilitar la interpretación podemos dar un color a la variable calculada (naranjo).

De esta forma podemos generalizar la regla:

Una variable (nodo blanco o rojo) solo puede ser calculada con una ecuación (nodo celeste) si todas las restantes variables son conocidas (nodos verde claros o naranjos).

La variable calculada adicionalmente a la variable buscada se denomina variable intermedia.

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