Benützer:


Lösen von Problemen mit Gleichungsnetzwerken

Storyboard

Die Modelle können in Form von Gleichungsnetzen ausgedrückt werden, in denen die verschiedenen Knoten die Variablen des Systems sind.

Sobald das Netzwerk aufgebaut ist, ist es möglich, die Gleichungen direkt zu identifizieren, die zur Berechnung jeder Variablen verwendet werden können.

Durch Identifizierung der gegebenen Variablen ist es möglich, die zu verwendenden Gleichungen und eventuell notwendige Zwischenvariablen mit ihren Gleichungen zu finden, die diese Berechnung ermöglichen.

Die Identifizierung des richtigen Modells für das zu behandelnde Problem ermöglicht nicht nur das schnelle Auffinden der erforderlichen Gleichungen, sondern verringert auch das Risiko, eine Gleichung zu verwenden, die für den zu berechnenden Fall nicht anwendbar ist.

ID:(1932, 0)



Gleichung: der zurückgelegte Weg

Bild

Die Gleichung des zurückgelegten Weges

$\Delta s = s - s_0$



Es kann als (Hellblauer) Knoten dargestellt werden, der den Knoten der zurückgelegten Weges variablen $\Delta s$, der Anfangsposition $s_0$ und der Endposition zugeordnet ist:

Gleichung des zurückgelegten Weges

Bilder der LEGO-Steine einschließlich der Darstellung der Gleichung sind enthalten.

ID:(14379, 0)



Gleichung: die verstrichene Zeit

Bild

Die Gleichung für die verstrichene Zeit

$\Delta t = t - t_0$



Es kann als (Himmels-)Knoten dargestellt werden, der den Knoten der Variablen der verstrichenen Zeit $\Delta t$, der Anfangszeit $t_0$ und der Endzeit zugeordnet ist:

Gleichung für die verstrichene Zeit

Bilder der LEGO-Steine einschließlich der Darstellung der Gleichung sind enthalten.

ID:(14380, 0)



Gleichung: die Geschwindigkeit

Bild

Die Geschwindigkeitsgleichung

$v = \displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}$



Es kann als (Himmels-)Knoten dargestellt werden, der den Knoten der Geschwindigkeitsvariablen $v$, dem zurückgelegten Weg $\Delta s$ und der verstrichenen Zeit $\Delta t$ zugeordnet ist:

Geschwindigkeitsgleichung

Bilder der LEGO-Steine einschließlich der Darstellung der Gleichung sind enthalten.

ID:(14381, 0)



Gleichung: der Position

Bild

Mit den bereits eingegebenen drei Gleichungen kann eine vierte Gleichung aufgestellt werden, die jederzeit die Berechnung der Position ermöglicht

$s = s_0 + v(t - t_0)$



der auch als (Himmels-)Knoten dargestellt werden kann, der den Knoten der Variablen Position $s$, Anfangsposition $s_0$, Geschwindigkeit $v$, Anfangszeit $t_0$ und Endzeit $t$ zugeordnet ist:

Positionsgleichung

Bilder der LEGO-Steine einschließlich der Darstellung der Gleichung sind enthalten.

ID:(14382, 0)



Das Netzwerk bilde

Bild

Wenn alle Gleichungen mit ihren jeweiligen Graphen gezeichnet werden, ist ersichtlich, dass es gemeinsame Variablen gibt, die integriert werden können.

Es ist wichtig, dass jede Variable nur einmal repräsentiert durch ihren Knoten (Weiss) vorkommt



Das Netzwerk bilden

ID:(14383, 0)



Das Netzwerk

Bild

Sobald die gemeinsamen Variablen integriert sind, wird das Netzwerk erhalten, das das Modell darstellt.

In diesem Fall ist das Modell einfach, es besteht nur aus 4 Gleichungen (hellblauer knoten), die durch 7 Variablen (weiße Knoten) miteinander verbunden sind.

Das Modell Netzwerk

Ein komplexeres Modell kann mehrere Gleichungen und Variablen haben. Alle sind miteinander verbunden und bilden ein einziges Netzwerk.

ID:(14384, 0)



Zu berechnende Variablen

Bild

Im Prinzip kann jede Variable im Modell berechnet werden. In diesem speziellen Fall:

$s$: Wie weit werden wir gehen?
$s_0$: Wie weit weg fangen wir an?
$\Delta s$: Welchen Weg sind wir gegangen?
$t$: Wann werden wir ankommen?
$t_0$: Wann fahren wir los?
$\Delta t$: Wie lange sind wir gereist?
$v$: Wie schnell reisen wir?

Wenn wir die Ankunftszeit berücksichtigen, können wir den entsprechenden Knoten im Modellnetzwerk rot markieren:

Das Modellnetz zur Berechnung der Ankunftszeit.



Wenn wir das Netzwerk konsultieren, beobachten wir sofort die zugehörigen Knoten, die den Gleichungen entsprechen, die zur Berechnung der Variablen verwendet werden können. In diesem Fall wurden sie blau markiert und entsprechen den Gleichungen

$s = s_0 + v(t - t_0)$



Und

$\Delta t = t - t_0$

ID:(14385, 0)



Gegebenen Variablen

Bild

Um eine bestimmte Variable zu berechnen, müssen wir zunächst die Variablen bestimmen, deren Werte uns gegeben werden.

Um die Interpretation zu erleichtern, können die Knoten der gegebenen Variablen mit einer anderen Farbe (hellgrün) markiert werden.

Das Netzwerk des Modells mit den gegebenen Variablen und der zu berechnenden Variablen.



Auf diese Weise ist leicht zu erkennen, dass die gewählte Variable nicht berechnet werden kann, da beide zugehörigen Gleichungen Variablen darstellen, deren Werte wir nicht kennen (weiße Knoten).

Die allgemeine Regel ist

Eine Variable (weißer Knoten) kann nur berechnet werden, wenn alle anderen Knoten einer Gleichung (hellblauer Knoten) gegeben sind (hellgrüne Knoten). Im Allgemeinen darf es nicht mehr als einen weißen Knoten geben.

ID:(14386, 0)



Lösungsstrategie über Endposition

Bild

Die gesuchte Variable (roter Knoten) kann nicht berechnet werden, da in den beiden zugehörigen Gleichungen weitere unbekannte Variablen (weiße Knoten) vorhanden sind.

Es ist jedoch möglich, diese mit anderen Netzwerkgleichungen zu berechnen. Dazu nehmen wir zum Beispiel die Variable $s$, die sich mit der Gleichung des zurückgelegten Weges berechnen lässt:

Lösung über die Zwischenvariable Endlage.



Jedes Mal, wenn wir eine Gleichung identifizieren, die nur eine Unbekannte (weißer oder roter Knoten) hat, können wir diese Gleichung verwenden, um diesen Wert zu berechnen. Um die Interpretation zu erleichtern, können wir der berechneten Variable eine Farbe (orange) geben.

Damit können wir die Regel verallgemeinern:

Eine Variable (weißer oder roter Knoten) kann nur dann mit einer Gleichung (hellblauer Knoten) berechnet werden, wenn alle anderen Variablen bekannt sind (hellgrüne oder orangefarbene Knoten).

Die zusätzlich zur Suchvariable berechnete Variable wird als Zwischenvariable bezeichnet.

ID:(14387, 0)



Lösungsstrategie über Reisezeit

Bild

Die gesuchte Variable (roter Knoten) kann nicht berechnet werden, da in den beiden zugehörigen Gleichungen weitere unbekannte Variablen (weiße Knoten) vorhanden sind.

Es ist jedoch möglich, diese mit anderen Netzwerkgleichungen zu berechnen. Dazu nehmen wir zum Beispiel die Variable $\Delta t$, die sich mit der Gleichung des zurückgelegten Weges berechnen lässt:

Lösung über die Zwischenvariable Fahrzeit.



Jedes Mal, wenn wir eine Gleichung identifizieren, die nur eine Unbekannte (weißer oder roter Knoten) hat, können wir diese Gleichung verwenden, um diesen Wert zu berechnen. Um die Interpretation zu erleichtern, können wir der berechneten Variable eine Farbe (orange) geben.

Damit können wir die Regel verallgemeinern:

Eine Variable (weißer oder roter Knoten) kann nur dann mit einer Gleichung (hellblauer Knoten) berechnet werden, wenn alle anderen Variablen bekannt sind (hellgrüne oder orangefarbene Knoten).

Die zusätzlich zur Suchvariable berechnete Variable wird als Zwischenvariable bezeichnet.

ID:(14388, 0)