Nous pouvons tudier ce qui se passe lorsque nous mettons en contact deux syst mes de particules de mani re ce qu'ils puissent changer de l' nergie mais pas de particules.

Supposons galement que le syst me soit isol de son environnement, ce qui signifie qu'il a une nergie totale de $E_0$.

Supposons qu'initialement le premier syst me ait une nergie de $E$, ce qui est associ $\Omega(E)$ tats.

tant donn que l' nergie totale est de $E_0$, le second syst me ne peut avoir que l' nergie $E_0-E$ et un certain nombre d' tats associ s $\Omega(E_0-E)$.

Une fois que nous les mettons en contact, ils peuvent changer de l' nergie jusqu' ce qu'ils atteignent un certain quilibre. cet gard, la valeur de $E$ va varier, et la probabilit de trouver les syst mes de telle sorte que le premier ait une valeur de $E$ va galement varier.

(ID 11541)

Chaque syst me $\Omega$ poss de un nombre d' tats possibles qui d pend de son nergie $E$. Ainsi, si le syst me que nous tudions a une nergie $E$, le nombre d' tats possibles sera $\Omega(E)$.

Le syst me tudi est en contact avec un r servoir qui fournit de l' nergie $E$, de sorte que l' nergie totale est $E_0$ moins celle du syst me immerg , $E$. Par cons quent, le r servoir poss de $\Omega(E_0 - E)$ tats possibles. La probabilit de trouver le syst me total avec une nergie $E$ dans le syst me immerg est exprim e comme le produit du nombre d' tats avec :

o $C$ est une constante de normalisation. L' nergie $E$ sera celle pour laquelle la probabilit est maximale.

(ID 3434)

Lorsque nous comparons la variation du nombre d' tats en fonction de l' nergie $E$, nous remarquons que le comportement du syst me et du r servoir est oppos :

Cela se produit parce qu' mesure que l' nergie augmente, celle du r servoir diminue, ce qui r duit le nombre d' tats auxquels il peut acc der.

(ID 11542)

Lorsque nous multiplions le nombre de cas, nous obtenons une fonction avec un pic tr s marqu .

Le syst me a plus de chances d' tre trouv l' nergie o se situe le pic de la courbe de probabilit .

(ID 11543)

Si la probabilit de deux syst mes isol s, chacun ayant une nergie totale de $E_0$ et l'un des syst mes ayant une nergie de $E$, est donn e par

Nous pouvons estimer l' nergie probable $E$ laquelle ils seront trouv s en recherchant la probabilit maximale. Pour ce faire, nous devons d river par rapport l' nergie $E$ et galer la d riv e z ro.

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial E}=\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}\Omega'+\Omega\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E}=0$

Si nous divisons l'expression par $\Omega\Omega'$ et rempla ons la diff rence d' nergie $E_0-E$ par $E'$, nous pouvons reformuler la condition pour d terminer la situation la plus probable comme suit :

S'il existe une probabilit $P(E)$ de trouver

$\displaystyle\frac{1}{\Omega}\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{1}{\Omega'}\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}=0$

Le signe n gatif provient du changement de variables, car avec

$E'=E_0-E$

la d riv e par rapport $E'$ donne

.

(ID 4806)

Lorsqu'un syst me est en contact avec un r servoir d' nergie $E_0$, il est probable de le trouver avec une nergie $E$ pour laquelle la probabilit avec

atteint son maximum. L' nergie peut tre d termin e en d rivant cette expression par rapport l' nergie $E$ et en la mettant gale z ro. Cela quivaut d river le logarithme de la probabilit :

$\ln P(E) = \ln C + \ln\Omega(E) + \ln\Omega(E_0-E)$

Conduisant :

$\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E} + \displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E} = 0$

Si nous effectuons un changement de variable :

$E' = E_0 - E$

Nous obtenons la condition d' quilibre avec :

.

(ID 3441)

La condition d' quilibre d'un syst me en contact avec un r servoir s'exprime avec

Cela nous permet d'introduire une fonction $\beta$ avec de la mani re suivante :

Cette fonction caract rise l' tat du syst me et devient pertinente lorsque le syst me est en quilibre avec un autre syst me.

(ID 3435)

Quand un syst me est en contact avec un r servoir d' nergie $E_0$, il est probable de le trouver avec une nergie $E$ pour laquelle, avec , la probabilit

atteint son maximum. L' nergie peut tre d termin e en d rivant cette expression par rapport l' nergie $E$ et en la fixant z ro. Cela quivaut d river le logarithme de la probabilit :

$\ln P(E) = \ln C + \ln\Omega(E) + \ln\Omega(E_0-E)$

Ainsi, avec , nous obtenons

Si nous effectuons un changement de variable

$E' = E_0 - E$

nous obtenons la condition d' quilibre avec :

.

(ID 3436)

Si nous supposons que nous trouvons le syst me l' nergie pour laquelle la probabilit est maximale, nous pouvons associer cela la situation d' quilibre d'un syst me o la probabilit est maximale.

D'autre part, nous savons que deux syst mes sont en quilibre thermique lorsque leurs temp ratures sont gales. Par cons quent, le fait que les fonctions $\beta$ soient gales sugg re que $\beta$ est li la temp rature.

tant donn que les unit s de $\beta$ sont le r ciproque de l' nergie, nous pouvons le d finir comme suit avec :

(ID 3437)

En introduisant la relation avec

la condition d' quilibre avec

se simplifie simplement

.

(ID 3438)