Soluciones Aproximadas

Storyboard

La complejidad de la ecuación de transporte radica en la consideración del termino de colisiones. Una de las aproximaciones es tomar la función de distribución y definir que el elemento de colisión es proporcional a la diferencia entre la función de distribución real y aquella en estacionaria.

>Modelo

ID:(1114, 0)

---

Aproximación por distribución Maxwell Boltzmann

Ecuación

>Top, >Modelo

En primera aproximación se puede suponer que la función distribución debe de asumir la forma de una distribución de Maxwell Boltzmann, es decir

$f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$

ID:(9082, 0)

---

Aproximación de Relajación

Ecuación

>Top, >Modelo

Una forma de solucionar la ecuación general de Boltzmann es linearizar la ecuación suponiendo que el termino de colisión se puede escribir como la diferencia entre la función distribución y la solución en equilibrio representada por la función distribución de Maxwell Boltzmann

$\displaystyle\frac{df}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\tau}(f-f^{(0)})$

ID:(9083, 0)

---

Aproximación de Bhatnagar-Gross-Krook

Ecuación

>Top, >Modelo

En la aproximación Bhatnagar-Gross-Krook la distribución en equilibrio se asume como la de un gas de partículas sin interacción

$f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$

con \vec{u} la velocidad del flujo, k la constante de Boltzmann, T la temperatura y m la masa de la particula. Si se desarrolla esta expresión en el limite de velocidades \vec{u} comparada con la velocidad de las moleculas c\hat{e}_i se tiene que

$f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$

con \omega_i los pesos dados por

Modelo	$\omega_i$	Index
1DQ3	?	i=0
-	?	i=1, 2
2DQ9	4/9	i=0
-	1/9	i=1,...,4
-	1/36	i=5,...,8
3DQ15	1/3	i=0
-	1/18	i=1,...,6
-	1/36	i=7,...,14
3DQ19	?	i=0
-	?	i=1,...,6
-	?	i=7,...,18

que se determinan asegurando que la distribución equilibrio cumpla las leyes de conservación.

ID:(9084, 0)

---

Streaming

Ecuación

>Top, >Modelo

En el proceso de streaming se desplazan las partículas según sus direcciones de velocidades a las celdas vecinas

$f_i(\vec{x},t)\leftarrow f_i(\vec{x}+ce_i\delta t,t+\delta t)$

donde \vec{x} es la posición, t el tiempo, \delta t el incremento en el tiempo, \vec{e}_i la dirección de la grilla y c la velocidad.

ID:(9150, 0)

---

Función de discretización

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso de la discretización en los modelos LBM se trabaja no con funciones de la velocidad si no que con componentes discretas. De esta forma se define la componente i mediante:

$f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$

en donde w_i es el peso relativo.

ID:(8466, 0)

---