Druyd:Knowledge

Soluciones Aproximadas

Storyboard

La complejidad de la ecuación de transporte radica en la consideración del termino de colisiones. Una de las aproximaciones es tomar la función de distribución y definir que el elemento de colisión es proporcional a la diferencia entre la función de distribución real y aquella en estacionaria.

>Modelo

ID:(1114, 0)

Soluciones Aproximadas

Storyboard

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$\beta$

beta

Beta

1/J

$f^{eq}_i$

feq_i

Componente

$i$ de la distribución en equilibrio según BGK

$f_i$

f_i

Componente

$i$ de la función distribución según BGK

$c(\vec{x},t)$

Concentración en el espacio

1/m^3

$\rho$

rho

Densidad en el espacio

kg/m^3

$\vec{e}_i$

&e_i

Dirección de la componente

$i$ según BGK

$c$

Factor de normalización de BGK

$\omega_i$

omega_i

Factor de peso en la componente

$i$ según BGK

$f$

Función distribución de la teoría de transporte

$f^{(0)}$

f^0

Función distribución en equilibrio

$\delta t$

Incremento en el tiempo

$m$

Masa de la partícula

$\vec{x}$

Posición (vector)

$t$

Tiempo

$\tau$

tau

Tiempo de relajamiento

$\vec{v}$

Velocidad de las partículas (vector)

m/s

$\vec{u}$

Velocidad en el espacio

m/s

$\vec{u}$

Velocidad media (vector)

m/s

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$

f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)

$f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$

f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}

$\displaystyle\frac{df}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\tau}(f-f^{(0)})$

\displaystyle\frac{df}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\tau}(f-f^{(0)})

$f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$

f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)

$f_i(\vec{x},t)\leftarrow f_i(\vec{x}+ce_i\delta t,t+\delta t)$

f_i(\vec{x},t)\leftarrow f_i(\vec{x}+ce_i\delta t,t+\delta t)

Ejemplos

Aproximaci n por distribuci n Maxwell Boltzmann

En primera aproximaci n se puede suponer que la funci n distribuci n debe de asumir la forma de una distribuci n de Maxwell Boltzmann, es decir

equation

Aproximaci n de Relajaci n

Una forma de solucionar la ecuaci n general de Boltzmann es linearizar la ecuaci n suponiendo que el termino de colisi n se puede escribir como la diferencia entre la funci n distribuci n y la soluci n en equilibrio representada por la funci n distribuci n de Maxwell Boltzmann

equation

Aproximaci n de Bhatnagar-Gross-Krook

En la aproximaci n Bhatnagar-Gross-Krook la distribuci n en equilibrio se asume como la de un gas de part culas sin interacci n

equation=9082

con \vec{u} la velocidad del flujo, k la constante de Boltzmann, T la temperatura y m la masa de la particula. Si se desarrolla esta expresi n en el limite de velocidades \vec{u} comparada con la velocidad de las moleculas c\hat{e}_i se tiene que

equation

con \omega_i los pesos dados por

Modelo	$\omega_i$	Index
1DQ3	?	i=0
-	?	i=1, 2
2DQ9	4/9	i=0
-	1/9	i=1,...,4
-	1/36	i=5,...,8
3DQ15	1/3	i=0
-	1/18	i=1,...,6
-	1/36	i=7,...,14
3DQ19	?	i=0
-	?	i=1,...,6
-	?	i=7,...,18

que se determinan asegurando que la distribuci n equilibrio cumpla las leyes de conservaci n.

Streaming

En el proceso de streaming se desplazan las part culas seg n sus direcciones de velocidades a las celdas vecinas

equation

donde \vec{x} es la posici n, t el tiempo, \delta t el incremento en el tiempo, \vec{e}_i la direcci n de la grilla y c la velocidad.

Funci n de discretizaci n

En el caso de la discretizaci n en los modelos LBM se trabaja no con funciones de la velocidad si no que con componentes discretas. De esta forma se define la componente i mediante:

equation

en donde w_i es el peso relativo.

>Modelo

ID:(1114, 0)