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Función de Distribución

Storyboard

Para modelar la dinámica de sistemas de múltiples partículas se segmenta el espacio posición y velocidad en celtas d\vec{x}d\vec{v}. Sobre esta base se modela el flujo de las partículas entre celdas y se encuentra la forma de calcular propiedades macroscopicas del sistema.

>Modelo

ID:(1111, 0)

Descripción del sistema

Definición

Para describir la dinámica del sistema de partículas se segmenta el espacio posición-velocidad en celtas de posición d\vec{x} y velocidad d\vec{v}. Dentro de una celda en la posición \vec{x} y volumen d\vec{x} existe un numero de partículas de masa m cuya velocidad esta entre \vec{v} y \vec{v}+d\vec{v}.

ID:(9069, 0)

Función distribución

Imagen

Una vez que se ha definido el espacio posición velocidad podemos introducir una función distribución que nos indica el número de partículas que se localizan en un volumen d\vec{x} que esta en la posición \vec{x} y cuya velocidad esta entre \vec{v} y \vec{v}+d\vec{v}. Como esta función puede variar en el tiempo debemos asumir que ademas depende del tiempo t.

ID:(9070, 0)

Función de Distribución

Descripción

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$\vec{F}$

Fuerza (vector)

$f$

Función distribución de la teoría de transporte

$\delta t$

Incremento en el tiempo

$m$

Masa de la partícula

$\vec{x}$

Posición (vector)

$\vec{x}_0$

&x_0

Posición inicial (vector)

$t$

Tiempo

$\vec{u}_2$

&u_2

Velocidad inicial (vector)

m/s

$\vec{u}$

Velocidad media (vector)

m/s

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$\vec{x} = \vec{x}_0 + \vec{v} \Delta t$

x=x_0+v*Dt

(ID 9071)

$\vec{v}_F=\vec{v}+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}dt$

\vec{v}_F=\vec{v}+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}dt

(ID 9072)

$\displaystyle\frac{df}{dt}=0$

\displaystyle\frac{df}{dt}=0

(ID 9073)

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla_{\vec{x}} f+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}\cdot\nabla_{\vec{v}} f=0$

\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla_{\vec{x}} f+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}\cdot\nabla_{\vec{v}} f=0

(ID 9074)

Ejemplos

Descripci n del sistema

Para describir la din mica del sistema de part culas se segmenta el espacio posici n-velocidad en celtas de posici n d\vec{x} y velocidad d\vec{v}. Dentro de una celda en la posici n \vec{x} y volumen d\vec{x} existe un numero de part culas de masa m cuya velocidad esta entre \vec{v} y \vec{v}+d\vec{v}.

(ID 9069)

Funci n distribuci n

Una vez que se ha definido el espacio posici n velocidad podemos introducir una funci n distribuci n que nos indica el n mero de part culas que se localizan en un volumen d\vec{x} que esta en la posici n \vec{x} y cuya velocidad esta entre \vec{v} y \vec{v}+d\vec{v}. Como esta funci n puede variar en el tiempo debemos asumir que ademas depende del tiempo t.

(ID 9070)

Desplazamiento de part culas

Si las part culas tienen una velocidad \vec{v} en un tiempo dt se desplazaran una distancia\\n\\n

$\vec{v}dt$

por lo que su posici n se desplazar de una posici n \vec{x} a una nueva de coordenadas con

$\vec{x} = \vec{x}_0 + \vec{v} \Delta t$

(ID 9071)

Variaci n de la velocidad de las part culas

Si una fuerza \vec{F} actua sobre las part culas de masa m su velocidad \vec{v} variar en\\n\\n

$\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}dt$

por lo que su velocidad \vec{v}' ser con

$\vec{v}_F=\vec{v}+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}dt$

(ID 9072)

Flujo de part culas

Si el volumen d\vec{x} se desplaza con una velocidad \vec{v} en el espacio posici n y esta a su vez es alterada por una fuerza \vec{F} el n mero de part culas no variara en el tiempo dt por lo que\\n\\n

$f(\vec{x}+\vec{v}dt,\vec{v}+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}dt,t+dt)=f(\vec{x},\vec{v},t)$

\\n\\npor lo que\\n\\n

$f(\vec{x}+\vec{v}dt,\vec{v}+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}dt,t+dt)-f(\vec{x},\vec{v},t)=0$

o sea con

$\displaystyle\frac{df}{dt}=0$

(ID 9073)

Ecuaci n de transporte sin colisiones

En el caso de que las celdas se desplazan con la velocidad media \vec{v}, bajo la fuerza \vec{F} y sin existir colisiones entre las part culas que puedan llevar a variaciones de la funci n de distribuci n, se tendr con función distribución de la teoría de transporte $-$ y tiempo $s$

$\displaystyle\frac{df}{dt}=0$

por lo que el desarrollo de la derivada da la llamada ecuaci n de transporte sin colisiones con función distribución de la teoría de transporte $-$ y tiempo $s$ :

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla_{\vec{x}} f+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}\cdot\nabla_{\vec{v}} f=0$

(ID 9074)

ID:(1111, 0)