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Función de Distribución
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Para modelar la dinámica de sistemas de múltiples partículas se segmenta el espacio posición y velocidad en celtas d\vec{x}d\vec{v}. Sobre esta base se modela el flujo de las partículas entre celdas y se encuentra la forma de calcular propiedades macroscopicas del sistema.

>Modelo

ID:(1111, 0)


Descripción del sistema
Descripción

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Para describir la dinámica del sistema de partículas se segmenta el espacio posición-velocidad en celtas de posición d\vec{x} y velocidad d\vec{v}. Dentro de una celda en la posición \vec{x} y volumen d\vec{x} existe un numero de partículas de masa m cuya velocidad esta entre \vec{v} y \vec{v}+d\vec{v}.

ID:(9069, 0)


Función distribución
Descripción

>Top


Una vez que se ha definido el espacio posición velocidad podemos introducir una función distribución que nos indica el número de partículas que se localizan en un volumen d\vec{x} que esta en la posición \vec{x} y cuya velocidad esta entre \vec{v} y \vec{v}+d\vec{v}. Como esta función puede variar en el tiempo debemos asumir que ademas depende del tiempo t.

ID:(9070, 0)


Desplazamiento de partículas
Ecuación

>Top, >Modelo


Si las partículas tienen una velocidad \vec{v} en un tiempo dt se desplazaran una distancia\\n\\n

$\vec{v}dt$



por lo que su posición se desplazará de una posición \vec{x} a una nueva de coordenadas con

$ \vec{x} = \vec{x}_0 + \vec{v} \Delta t $

ID:(9071, 0)


Variación de la velocidad de las partículas
Ecuación

>Top, >Modelo


Si una fuerza \vec{F} actua sobre las partículas de masa m su velocidad \vec{v} variará en\\n\\n

$\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}dt$



por lo que su velocidad \vec{v}' será con

$\vec{v}_F=\vec{v}+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}dt$

ID:(9072, 0)


Flujo de partículas
Ecuación

>Top, >Modelo


Si el volumen d\vec{x} se desplaza con una velocidad \vec{v} en el espacio posición y esta a su vez es alterada por una fuerza \vec{F} el número de partículas no variara en el tiempo dt por lo que\\n\\n

$f(\vec{x}+\vec{v}dt,\vec{v}+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}dt,t+dt)=f(\vec{x},\vec{v},t)$

\\n\\npor lo que\\n\\n

$f(\vec{x}+\vec{v}dt,\vec{v}+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}dt,t+dt)-f(\vec{x},\vec{v},t)=0$



o sea con

$\displaystyle\frac{df}{dt}=0$

ID:(9073, 0)


Ecuación de transporte sin colisiones
Ecuación

>Top, >Modelo


En el caso de que las celdas se desplazan con la velocidad media \vec{v}, bajo la fuerza \vec{F} y sin existir colisiones entre las partículas que puedan llevar a variaciones de la función de distribución, se tendrá con función distribución de la teoría de transporte $-$ y tiempo $s$

$\displaystyle\frac{df}{dt}=0$



por lo que el desarrollo de la derivada da la llamada ecuación de transporte sin colisiones con función distribución de la teoría de transporte $-$ y tiempo $s$:

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla_{\vec{x}} f+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}\cdot\nabla_{\vec{v}} f=0$

ID:(9074, 0)