Loading [MathJax]/extensions/tex2jax.js
Benützer: Keine Benutzer angemeldet.


Modelo Cuánticos del Sólidos

Beschreibung

>Modell

ID:(487, 0)



Modelo Cuánticos del Sólidos

Beschreibung

Variablen

Symbol
Text
Variable
Wert
Einheiten
Berechnen
MKS-Wert
MKS-Einheiten
$\beta$
beta
Beta
kg m/s
$\hbar$
hbar
Constante de Planck dividida por $2\pi$
J s
$\sigma$
sigma
Densidad de modos del solido
s
$\epsilon_r$
epsilon_r
Energía del estado $r$
J
$E_n$
E_n
Energía interna del solido mecánico cuántico
J
$V_0$
V_0
Energía macroscopica, deformación y constitución
J
$V_0$
V_0
Energía potencial de deformación macroscopica
J
$\omega_r$
omega_r
Frecuencia angular propia del oscilador armónico
rad/s
$Z$
Z
Función partición del solido clásico
-
$Z$
Z
Función partición del solido mecánico cuántico
-
$H$
H
Hamiltoneano del oscilador armónico
J
$\ln Z$
ln Z
Logaritmo de la función partición mecánico cuántico
-
$m$
m
Masa de la partícula
kg
$n_r$
n_r
Numero cuántico del oscilador armónico
-
$N$
N
Numero de partículas
-
$q_r$
q_r
Posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio
J
$\dot{q}_r$
vq_r
Velocidad de la partícula r
m/s

Berechnungen


Zuerst die Gleichung auswählen: zu , dann die Variable auswählen: zu

Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

Berechnungen

Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

Variable Gegeben Berechnen Ziel : Gleichung Zu verwenden



Gleichungen


Beispiele

En caso de un pez, la velocidad es del orden de $v = 0.05,m/s$, la densidad $\rho = 1.0\times 10^3,kg/m^3$, la viscosidad es $\eta = 1.0\times 10^3,Pa s$ y la dimensi n del orden de $R = 0.05,m$ por lo que el numero de Reynold es

$Re =\displaystyle\frac{\rho R v}{\eta}\sim 2500$

por ello la corriente tendera a ser Turbulenta.

Podemos asumir un modelo de un solido, en que cada part cula interactua con sus vecinos via campo efectivo con lo que se describe como que fuera y la energ a potencia se puede describir como la de un resorte.

En este caso el hamilitoneano de un solido se puede describir mediante list con lo que:

equation

En mec nica cu ntica se puede resolver en forma anal tica el problema del hamiltoneano de un oscilador arm nico con list=4800

equation=4800



lo que resulta en los estado de energ a r con list es de la forma

equation

Como la energ a del estado r es con list=4801

equation=4801



se tiene que la energ a total es con list

equation

El estado de m nima energ a con list=4802 de

equation=4802\\n\\nse obtiene si todos los osciladores est n en su estado fundamental, es decir\\n\\n

$n_r=0$

\\n\\ncon lo que la energ a se reduce a\\n\\n

$V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r =1}^{3 N }\hbar\omega_r$



por lo que se puede introducir una energ a base que puede contener la energ a de deformaci n el stica. Con list

equation

Con la funci n partici n con list=3527

equation=3527



y la energ a del solido con list=4802

equation=4802



se obtiene la funci n partici n del solido con list

equation

La expresi n de la funci n partici n con list=3895

equation=3895



puede ser re-escrita con list como

equation

En la expresi n con list=9499

equation=9499\\n\\ncada elemento del producto puede ser sumado ya que corresponde a una serie geom trica en un q=e^{-\beta\hbar\omega_r}:\\n\\n

$\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}e^{-\beta n_r\hbar\omega_r}\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}q^{n_r}=\displaystyle\frac{1}{1-q}=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-\beta \hbar\omega_r}}$



por lo que el logaritmo de la funci n partici n es con list

equation

Si se toma el logaritmo de la funci n partici n de un solido con list=9500

equation=9500



se obtiene la expresi n con list

equation

Si se introduce una funci n \sigma(\omega) tal que \sigma(\omega)d\omega indica el n mero de modos que existen entre las frecuencias \omega y \omega+d\omega se puede pasar la suma sobre los 3N estados a una integral\\n\\n

$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$



con lo que el logaritmo de la funci n partici n con list=9501

equation=9501



se estima con list

equation

Con el paso discreto al continuo\\n\\n

$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$



la energ a m nima del solido con list=3894

equation=3894



se estima con list

equation

>Modell

ID:(487, 0)