Modelo Clásico del Solido

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ID:(838, 0)



Modelo de Drude de un solido

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En 1904 Paul Drude propuso modelar un solido (cristal) como una grilla con átomos que interactuan de modo de formar pequeños osciladores.

Átomos ligados con conectores tipo resortes

ID:(9507, 0)



Partículas sin interacción

Equation

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En general las partículas pueden interactuar lo que se refleja en en energías potenciales que dependen de dos o mas partículas, como por ejemplo V(q_i,q_2) (interacción entre dos partículas).

Un caso especial es cuando no existe esta interacción y la energía potencial solo depende de la posición de la partícula misma y no de otras vecinas. Con es

$ V(q_i,q_j) = V(q_i) \delta_{ij} $

Una situación especial es cuando e modela la presencia de partículas vecinas vía un campo promedio. En este caso también se tiene un potencial que solo depende de la posición de la partícula aun que el potencial representa como todos los vecinos actual sobre la partícula.

ID:(9503, 0)



Potencial constante

Equation

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Un caso especial de potencial es el caso de que este sea independiente tanto de momento como posición asumiendo un valor constante V_0 con :

$ V = V_0 $

ID:(9502, 0)



Potencial de un resorte

Equation

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Un potencial partícula es el de un resorte que depende de es

$ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$



El modelo se puede llevar a una de cristal con potenciales tipo resortes escalando la posición con la distancia entre los átomos del cristal a y la profundidad del potencial V_a de la forma

$ V(q) = V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} V_a \left(\displaystyle\frac{ q }{ a }\right)^2$

ID:(9504, 0)



Frecuencia propia de los osciladores

Equation

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Si el potencial se define con constante del resorte $N/m$, energía potencial entre partículas $J$, posición de la partícula $m$ and posición del origen de la partícula $m$ como

$ V(q) = V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} V_a \left(\displaystyle\frac{ q }{ a }\right)^2$



tiene sentido definir la frecuencia angular

$ \omega_s \equiv \sqrt{\displaystyle\frac{ V_a }{ m a ^2}}$

que corresponde a la frecuencia angular con que oscilaría en el limite clásico.

ID:(13654, 0)



Función partición en un sistema clásico

Equation

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La función partición de un sistema clásico\\n\\n

$Z=\displaystyle\frac{1}{h^{3N}N!}\int\prod_id^3p_i\prod_id^3q_ie^{-\beta E}$



la energía cinética se puede representar por la gausseana en el momento y la interacción por una función potencial V(q) es con :

$ Z_s =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N } N !}\int\prod_i d^3 p_i \prod_i d^3 q_i e^{- \beta \sum_i( p_i ^2/2 m +V(q_i)) }$

con h que corresponde a las celdas \Delta q\Delta p con que se fragmenta el espacio de faces.

ID:(7984, 0)



Función partición en la aproximación de un potencial constante

Equation

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Se puede suponer que la función partición general es con constante de Planck $J s$, energía potencial entre partículas $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula i $kg m/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$ and posición de la partícula i $m$

$ Z_s =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N } N !}\int\prod_i d^3 p_i \prod_i d^3 q_i e^{- \beta \sum_i( p_i ^2/2 m +V(q_i)) }$

\\n\\ncon h que corresponde a las celdas \Delta q\Delta p con que se fragmenta el espacio de faces.\\n\\nSi el potencial V(q) no depende de q entonces el integral en la posición p se reduce para N partículas es \\n\\n

$V^N e^{-\beta V_0 N}$

\\n\\ny la integral sobre la gausseana del momento es\\n\\n

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dp,e^{-\beta p^2/2m}=\sqrt{\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}}$



y la función partición es con constante de Planck $J s$, energía potencial entre partículas $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula i $kg m/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$ and posición de la partícula i $m$

$ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N } N !}\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2} V ^ N e^{- N \beta V_0 }$

que corresponde a la de un gas ideal.

ID:(8023, 0)



Función partición en la aproximación harmonica

Equation

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Podemos asumir un modelo de un solido, en que cada partícula interactua con sus vecinos vía campo efectivo con lo que se describe como que fuera con energía potencial entre partículas $J$, posición de la partícula i $m$ and posición de la partícula j $m$

$ V(q_i,q_j) = V(q_i) \delta_{ij} $



Se puede suponer que la función partición general es con constante de Planck $J s$, energía potencial entre partículas $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula i $kg m/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$ and posición de la partícula i $m$

$ Z_s =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N } N !}\int\prod_i d^3 p_i \prod_i d^3 q_i e^{- \beta \sum_i( p_i ^2/2 m +V(q_i)) }$



con h que corresponde a las celdas \Delta q\Delta p con que se fragmenta el espacio de faces.

Podemos suponer que el potencial V(q) es de la forma

$ V(q) = V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} V_a \left(\displaystyle\frac{ q }{ a }\right)^2$

\\n\\nEntonces el integral en la posición q se reduce para N partículas es \\n\\n

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dq,e^{- \beta V_a q ^2/2 a ^2}=\sqrt{\displaystyle\frac{2 \pi a^2 }{ \beta V_a }}$

\\n\\ny la integral sobre la gausseanas del momento es\\n\\n

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dp,e^{-\beta p^2/2m}=\sqrt{\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}}$



Por ello la función partición de un solido clásico sería de la forma con constante de Planck $J s$, energía potencial entre partículas $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula i $kg m/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$ and posición de la partícula i $m$

$ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N }}\left(\displaystyle\frac{2 \pi }{\beta}\right)^{3 N }\left(\displaystyle\frac{ m a ^2}{ V_a }\right)^{3 N /2}e^{-3 N \beta V_0 }$

ID:(8024, 0)



Temperatura característica

Equation

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Si se reordena la función partición con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ and pi $rad$

$ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N }}\left(\displaystyle\frac{2 \pi }{\beta}\right)^{3 N }\left(\displaystyle\frac{ m a ^2}{ V_a }\right)^{3 N /2}e^{-3 N \beta V_0 }$

\\n\\nse puede reescribir como\\n\\n

$Z=\left(\displaystyle\frac{2\pi k_B T }{h}\sqrt{\displaystyle\frac{ m a ^2}{ V_a }}\right)^{3N}e^{-3 N \beta V_0 }$



con lo que tiene sentido definir una temperatura característica igual a con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ and pi $rad$

$ \Theta_s \equiv \displaystyle\frac{ \hbar }{ k_B }\sqrt{\displaystyle\frac{ V_a }{ m a ^2}}$

en que se empleo la definición de la constante de Planck \hbar = h/2\pi.

ID:(9556, 0)



Función partición del solido clásico en $T$

Equation

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La función partición con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ and pi $rad$ es

$ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N }}\left(\displaystyle\frac{2 \pi }{\beta}\right)^{3 N }\left(\displaystyle\frac{ m a ^2}{ V_a }\right)^{3 N /2}e^{-3 N \beta V_0 }$



por lo que con constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, masa de la partícula $kg$, pi $rad$ and temperatura de referencia clásica $K$

$ \Theta_s \equiv \displaystyle\frac{ \hbar }{ k_B }\sqrt{\displaystyle\frac{ V_a }{ m a ^2}}$



se obtiene que con constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, masa de la partícula $kg$, pi $rad$ and temperatura de referencia clásica $K$ es

$ Z_s = \left(\displaystyle\frac{ T }{ \Theta_s }\right)^{3 N } e^{-3 N V_0 / k_B T }$

ID:(9557, 0)



Logaritmo de la función partición en $T$

Equation

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Como la función partición con

$ Z_s = \left(\displaystyle\frac{ T }{ \Theta_s }\right)^{3 N } e^{-3 N V_0 / k_B T }$



el logaritmo de la función partición es

$ \ln Z_s =- 3 N \ln\left(\displaystyle\frac{ \Theta_s }{ T }\right)-\displaystyle\frac{3 N V_0 }{ k_B T } $

ID:(9561, 0)



Función partición del solido clásico en $\beta$

Equation

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Como la función partición con

$ Z_s = \left(\displaystyle\frac{ T }{ \Theta_s }\right)^{3 N } e^{-3 N V_0 / k_B T }$



con la definición de \beta es con

$ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$



el logaritmo de la función partición es con

$ Z_s = \displaystyle\frac{1}{( \beta k_B \Theta_s )^{3 N }} e^{-3 N \beta V_0 }$

ID:(13652, 0)



Logaritmo de la función partición en $\beta$

Equation

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Como la función partición con

$ \ln Z_s =- 3 N \ln\left(\displaystyle\frac{ \Theta_s }{ T }\right)-\displaystyle\frac{3 N V_0 }{ k_B T } $



el logaritmo de la función partición es

$ \ln Z_s =- 3 N \ln( \beta k_B \Theta_s )- 3 N \beta V_0 $

ID:(13653, 0)



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Video: Classic solid model