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Force visqueuse et gravitation
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Lorsqu'un objet se déplace dans un milieu visqueux sous l'influence d'une force constante comme la gravité, initialement la gravité accélère l'objet jusqu'à ce que sa vitesse augmente au point où la force visqueuse et la gravité s'équilibrent. À partir de ce moment, l'objet n'accélère plus et se déplace à une vitesse constante.
ID:(1965, 0)
Force visqueuse et gravitation
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Lorsqu'un objet se déplace dans un milieu visqueux sous l'influence d'une force constante comme la gravité, initialement la gravité accélère l'objet jusqu'à ce que sa vitesse augmente au point où la force visqueuse et la gravité s'équilibrent. À partir de ce moment, l'objet n'accélère plus et se déplace à une vitesse constante.
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tant donn que le moment ($p$) est d fini avec a masse d'inertie ($m_i$) et a vitesse ($v$),
Si a masse d'inertie ($m_i$) est gal a masse initiale ($m_0$), alors nous pouvons d river la quantit de mouvement par rapport au temps et obtenir a force à masse constante ($F$) :
$F=\displaystyle\frac{d}{dt}p=m_i\displaystyle\frac{d}{dt}v=m_ia$
Par cons quent, nous en concluons que
L' quation de mouvement a vitesse ($v$) en le temps ($t$) avec a masse d'inertie ($m_i$), a masse gravitationnelle ($m_g$), a accélération gravitationnelle ($g$) et a constante de force visqueuse ($b$) :
avec la d finition de a temps de viscosité et masse d'inertie ($\tau_i$)
et de a temps de viscosité et masse gravitationnelle ($\tau_g$)
peut tre reformul e comme suit :
$\displaystyle\frac{dv}{g\tau_g - v} = \displaystyle\frac{dt}{\tau_i}$
Si nous int grons cette expression entre une vitesse initiale ($v_0$) et a vitesse ($v$), et du temps initial z ro jusqu' Le temps ($t$), nous obtenons
$\ln(g\tau_g-v_0)-\ln(g\tau_g-v)=\displaystyle\frac{t}{\tau_i}$
En r solvant pour la vitesse, nous obtenons
Exemples
La force subie par un corps se d pla ant une vitesse de ERROR:6029.1 dans un milieu caract ris par a constante de force visqueuse ($b$) est a force visqueuse ($F_v$), comme d crit par l' quation :
Pour comprendre le r le de a constante de force visqueuse ($b$), il est important de se rappeler que la viscosit est une mesure de la mani re dont le moment, ou la vitesse des mol cules, se diffuse. En d'autres termes, a constante de force visqueuse ($b$) repr sente la mesure selon laquelle le corps perd de l' nergie en la transf rant au milieu et en acc l rant les mol cules, leur fournissant ainsi de l' nergie. Par cons quent, a constante de force visqueuse ($b$) est proportionnel la viscosit .
Lorsqu'une sph re est jet e dans un milieu visqueux, une force initiale ascendante, une force gravitationnelle ($F_g$), appara t, entra nant progressivement l'enfoncement du corps. Pendant ce processus, la sph re gagne en vitesse, ce qui entra ne une force descendante, une force visqueuse ($F_v$), d pendante de la vitesse. Au fur et mesure que la vitesse totale, a force à masse constante ($F$),
commence diminuer jusqu' devenir nulle. partir de ce moment, le mouvement continue une vitesse constante, car il n'y a pas de force pour l'acc l rer.
La m thode de mesure de la viscosit d'Ostwald est bas e sur le comportement d'un liquide s' coulant travers un tube de petit rayon (capillaire).
Le liquide est introduit, une aspiration est appliqu e pour d passer la marque sup rieure, puis il est laiss s' couler, mesurant le temps qu'il faut pour que le niveau passe de la marque sup rieure la marque inf rieure.
L'exp rience est d'abord r alis e avec un liquide pour lequel la viscosit et la densit sont connues (par exemple, de l'eau distill e), puis avec le liquide pour lequel la viscosit doit tre d termin e. Si les conditions sont identiques, le liquide qui s' coule dans les deux cas sera similaire, et ainsi, le temps sera proportionnel la densit divis e par la viscosit . Ainsi, une quation de comparaison entre les deux viscosit s peut tre tablie :
Dans le cas d'un corps tombant dans un milieu visqueux, l' quation de mouvement est une quation de a vitesse ($v$) en fonction de le temps ($t$) avec a masse gravitationnelle ($m_g$), a masse d'inertie ($m_i$), a accélération gravitationnelle ($g$) et a constante de force visqueuse ($b$) :
Cela est obtenu avec a temps de viscosité et masse d'inertie ($\tau_i$)
et avec a temps de viscosité et masse gravitationnelle ($\tau_g$)
En int grant avec un temps initial nul et a vitesse initiale ($v_0$),
qui est repr sent e ci-dessous :
Le graphique illustre comment la viscosit contraint le corps descendre avec une vitesse asymptotique ($v_{\infty}$), ce qui quivaut $g\tau_g$. Cela se produit en un temps de l'ordre de a temps de viscosité et masse d'inertie ($\tau_i$), que a vitesse ($v$) soit inf rieur ou sup rieur a vitesse asymptotique ($v_{\infty}$).
Dans le cas d'un corps tombant dans un milieu visqueux, l' quation de mouvement est une quation de a position ($s$) en fonction de a accélération gravitationnelle ($g$), a temps de viscosité et masse d'inertie ($\tau_i$), a temps de viscosité et masse gravitationnelle ($\tau_g$), a vitesse initiale ($v_0$) et le temps ($t$) :
partir de cette quation, nous obtenons en int grant avec un temps initial nul et une vitesse ($s_0$) :
qui est repr sent e ci-dessous :
Dans le cas d'un corps tombant dans un milieu visqueux, la force totale, a force à masse constante ($F$), est gale a force gravitationnelle ($F_g$) moins a force visqueuse ($F_v$), donc
Dans le cas o a masse d'inertie ($m_i$) est gal a masse initiale ($m_0$),
la d riv e de la quantit de mouvement sera gale la masse multipli e par la d riv e de a vitesse ($v$). Comme la d riv e de la vitesse est a accélération instantanée ($a$), nous avons que a force à masse constante ($F$) est gal
La forme la plus simple de a force visqueuse ($F_v$) est celle qui est proportionnelle au a vitesse ($v$) du corps, repr sent e par :
La constante de proportionnalit , galement connue sous le nom de a constante de force visqueuse ($b$), d pend g n ralement de la forme de l'objet et de la viscosit du milieu travers lequel il se d place. Un exemple de ce type de force est celle exerc e par un flux de fluide sur un corps sph rique, dont l'expression math matique est connue sous le nom de loi de Stokes.
A force gravitationnelle ($F_g$) est bas sur a masse gravitationnelle ($m_g$) de l'objet et sur une constante qui refl te l'intensit de la gravit la surface de la plan te. Cette derni re est identifi e par a accélération gravitationnelle ($g$), qui est gal $9.8 m/s^2$.
Par cons quent, on en conclut que :
Les masses que Newton a utilis es dans ses principes sont li es l'inertie des corps, ce qui conduit au concept de a masse d'inertie ($m_i$).
La loi de Newton, qui est li e la force entre les corps en raison de leurs masses, est associ e la gravit et est donc connue sous le nom de a masse gravitationnelle ($m_g$).
Empiriquement, on a conclu que les deux masses sont quivalentes, et donc nous d finissons
Einstein a t celui qui a remis en question cette galit et, partir de ce doute, a compris pourquoi les deux 'apparaissent' gales dans sa th orie de la gravit . Dans son argument, Einstein a expliqu que les masses d forment l'espace, et cette d formation de l'espace provoque un changement dans le comportement des corps. Ainsi, les masses s'av rent tre quivalentes. Le concept r volutionnaire de la courbure de l'espace implique m me que la lumi re, qui n'a pas de masse, est affect e par les corps c lestes, ce qui contredit la th orie de la gravitation de Newton. Cela a t d montr exp rimentalement en tudiant le comportement de la lumi re lors d'une clipse solaire. Dans cette situation, les faisceaux lumineux sont d vi s en raison de la pr sence du soleil, permettant l'observation des toiles qui se trouvent derri re lui.
A force à masse constante ($F$) est gal a force gravitationnelle ($F_g$) moins a force visqueuse ($F_v$), donc :
Cette relation permet d' tablir l' quation de mouvement pour a accélération instantanée ($a$) avec une masse d'inertie ($m_i$) qui chute en raison de la gravit terrestre avec a accélération gravitationnelle ($g$), et avec une masse gravitationnelle ($m_g$), en a constante de force visqueuse ($b$), prendra la forme de :
A masse d'inertie ($m_i$) qui chute sous l'effet de la gravit terrestre avec une accélération gravitationnelle ($g$), et avec une masse gravitationnelle ($m_g$) dans un milieu visqueux avec une constante de force visqueuse ($b$), est pr sent comme suit :
Pour r soudre cette quation, il est n cessaire de la ramener sa forme diff rentielle. Cela est r alis en rempla ant a accélération instantanée ($a$) par la d riv e de a vitesse ($v$) en le temps ($t$) :
Avec l' quation de mouvement d'un corps dans un milieu visqueux, nous avons la d riv e de a vitesse ($v$) Le temps ($t$) avec a masse d'inertie ($m_i$), a masse gravitationnelle ($m_g$), a constante de force visqueuse ($b$) et a accélération gravitationnelle ($g$) :
Cela d finit a temps de viscosité et masse d'inertie ($\tau_i$) comme :
Avec l' quation de mouvement d'un corps dans un milieu visqueux, nous avons la d riv e de a vitesse ($v$) Le temps ($t$) avec a constante de force visqueuse ($b$) et a accélération gravitationnelle ($g$) :
Cela d finit a temps de viscosité et masse d'inertie ($\tau_i$) comme :
L' quation du mouvement en a vitesse ($v$) Le temps ($t$) avec a masse d'inertie ($m_i$), a masse gravitationnelle ($m_g$), a accélération gravitationnelle ($g$), et a constante de force visqueuse ($b$) est :
En supposant que le temps initial soit nul, a vitesse initiale ($v_0$), a temps de viscosité et masse gravitationnelle ($\tau_g$) et a temps de viscosité et masse d'inertie ($\tau_i$), nous obtenons l' quation suivante :
Cette quation illustre que a vitesse initiale ($v_0$) converge alors asymptotiquement vers la vitesse $g\tau_g$.
L'int gration de l' quation du mouvement donne a vitesse ($v$) en fonction de a accélération gravitationnelle ($g$), a temps de viscosité et masse d'inertie ($\tau_i$), a temps de viscosité et masse gravitationnelle ($\tau_g$), a vitesse initiale ($v_0$) et le temps ($t$) sous la forme :
Pour le temps ($t$) beaucoup plus grand que a temps de viscosité et masse d'inertie ($\tau_i$), la limite a vitesse asymptotique ($v_{\infty}$) est obtenue :
L'int gration de l' quation du mouvement donne a vitesse ($v$) en fonction de a accélération gravitationnelle ($g$), a temps de viscosité et masse d'inertie ($\tau_i$), a temps de viscosité et masse gravitationnelle ($\tau_g$), a vitesse initiale ($v_0$) et le temps ($t$) sous la forme :
dans sa forme diff rentielle,
o a position ($s$) repr sente la distance parcourue.
L'int gration de l' quation de mouvement produit a position ($s$) en fonction de a accélération gravitationnelle ($g$), a temps de viscosité et masse d'inertie ($\tau_i$), a temps de viscosité et masse gravitationnelle ($\tau_g$), a vitesse initiale ($v_0$) et le temps ($t$) comme suit :
partir d'un temps initial nul jusqu' Le temps ($t$), et de a vitesse ($s_0$) jusqu' A position ($s$), nous obtenons :
ID:(1965, 0)
