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Erzwungene Oszillatoren und ihre Gleichung
Storyboard
Im Falle eines erzwungenen Oszillators wird eine externe Kraft auf die oszillierende Masse ausgeübt. Dies kann dazu führen, dass der Teig verlangsamt oder beschleunigt wird.
Wenn die Kraft synchron wirkt (mit der gleichen Geschwindigkeit, mit der die Masse natürlich schwingt), entstehen Resonanzen, die die Amplitude der Schwingung dramatisch erhöhen können.
ID:(52, 0)
Erzwungener Oszillator
Bild
Ein erzwungener Oszillator kann ein System sein, bei dem eine Masse, die an einer Feder befestigt ist, in einer viskosen Flüssigkeit eingetaucht ist und der Punkt, an dem die Feder befestigt ist, oszilliert. Dieser Effekt kann erreicht werden, indem der Punkt an eine rotierende Scheibe befestigt wird:
ID:(14098, 0)
Erzwingende Kraft
Gleichung
Eine einfache Möglichkeit, die externe Kraft zu modellieren, besteht darin anzunehmen, dass sie eine Größe von $F_0$ hat und mit einer beliebigen Winkelgeschwindigkeit $\omega$ oszilliert.
 $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
ID:(14099, 0)
Erzwungene Oszillatorgleichung
Gleichung
Im Fall eines gedämpften Oszillators ohne äußere Einwirkung lautet die Bewegungsgleichung
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = 0$ |
Im Fall einer externen Einwirkung wirkt die von uns definierte Kraft
| $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
zusätzlich auf das System, was zu einer modifizierten Bewegungsgleichung führt
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
ID:(14100, 0)
Struktur der erzwungenen Oszillatorlösung
Gleichung
Im Fall eines unangeregten gedämpften Oszillators lautet die Bewegungsgleichung:
| $ z = x_0 e^{i \omega t }$ |
Dabei ist es wichtig zu beachten, dass die Winkelgeschwindigkeit der natürlichen Frequenz des Systems entspricht. In unserem Fall wird die Winkelgeschwindigkeit derjenigen des Systems entsprechen, das die Schwingung antreibt. Abgesehen davon ist es möglich, dass die Schwingung eine Phasenverschiebung zur Antriebskraft aufweist. Daher kann eine Lösung in Form von
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
vorgeschlagen werden.
ID:(14101, 0)
Gleichung des erzwungenen Oszillators im komplexen Raum
Gleichung
Wenn wir die Gleichung der Schwingung
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
verwenden und sie in
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
einsetzen, erhalten wir die Gleichung für den erzwungenen Oszillator im komplexen Raum
| $(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $ |
Um die Lösung der Differentialgleichung
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
zu vereinfachen, verwenden wir die Lösung
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
und leiten sie nach der Zeit ab, um die Geschwindigkeit zu erhalten
$v = \displaystyle\frac{dz}{dt} = x_0 \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)}=x_0 i \omega e^{i(\omega t + \phi)} = i\omega z$
und somit auch die zweite Ableitung, die der ersten Ableitung der Geschwindigkeit entspricht
$a = \displaystyle\frac{dv}{dt} = x_0 i \omega e^{i\omega t} \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)} = - \omega^2 x_0 e^{i(\omega t + \phi)}= - \omega^2 z$
was zusammen mit
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
zur Gleichung führt
| $(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $ |
ID:(14103, 0)
Phasenverschiebung
Bild
Die Phasenverschiebung ist eine zeitliche Verschiebung einer Schwingung, was bedeutet, dass sie entweder vor oder hinter ihrer regulären Zeit liegt, während sie die gleiche Form beibehält:
ID:(14102, 0)
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Video
Video: Erzwungene Oszillatoren und ihre Gleichung