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Flujo turbulento por tubos
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Si el número de Reynolds es superior a 2000, el flujo en un tubo se vuelve siempre inestable y termina siendo completamente turbulento. Con esto, ya no es posible usar la aproximación de flujo laminar viscoso que da origen a la ley de Hagen Poiseuille, y es necesario desarrollar un modelo alternativo.
El modelo que describe un flujo en el cual la viscosidad es irrelevante es el que da origen a la ecuación de Bernoulli. Sin embargo, este modelo asume que la densidad de energía se conserva. Una alternativa es asumir que las turbulencias llevan a una mezcla mediante la cual la densidad de energía no se conserva pero permanece constante. En tal caso, el flujo se puede modelar mediante una ecuación similar a la de Bernoulli, pero teniendo en cuenta una corrección debido a la homogeneización causada por la mezcla.
ID:(1970, 0)
Modelamiento de la turbulencia
Imagen
El flujo laminar se describe mediante "láminas" que se desplazan a diferentes velocidades de manera coordinada. En contraste, en el flujo turbulento no existen estas láminas. Los elementos del fluido son desviados, pueden cambiar de dirección y participar en movimientos circulares en gran medida de manera caótica.
La primera consecuencia de esto es que los parámetros del fluido tienden a mezclarse, lo que resulta en la desaparición de las diferencias de velocidad y la aparición de un tipo de velocidad media. De esta manera, al promediar el movimiento, surgen patrones estructurados, pero ya no provienen de elementos individuales del flujo, sino de una mezcla temporal. Como resultado, se obtiene nuevamente un perfil relativamente constante que se asemeja a los perfiles definidos en el flujo laminar, pero en este caso son valores promedio y ya no presentan grandes gradientes, siendo más uniformes.
ID:(14525, 0)
Ecuación de Darcy-Weisbach
Ecuación
Cuando se modela el flujo en un tubo asumiendo que la densidad de energía se conserva, se obtiene la ecuación de Bernoulli, que en este caso describe el flujo mediante:
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
donde $\Delta p$ es la diferencia de presión, $\rho$ es la densidad y $v$ es la velocidad.
En el caso turbulento, el proceso de mezclado actúa como una fricción que reduce el gradiente en la velocidad presente en el flujo laminar entre el centro y el borde del caudal. Si asumimos que este factor de mezclado se puede modelar simplemente con un factor de corrección, llegamos empíricamente a la ecuación de Darcy-Weisbach:
 $ \Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w v ^2 $ |
donde $f_D$ es el factor de fricción de Darcy, $\Delta L$ es la longitud y $D_H$ es el diámetro hidrodinámico del tubo.
El factor de fricción se ha obtenido empíricamente para diversas situaciones y se expresa en función del número de Reynolds.
ID:(14526, 0)
Diámetro hidráulico
Ecuación
En el contexto de la ecuación de Darcy-Weisbach, se trabaja con un diámetro hidráulico que corresponde a una generalización del diámetro tradicional de un círculo. De esta manera, es posible tomar una sección que no sea circular y calcular un diámetro basado en el área de la sección $S$ y su perímetro $P$ utilizando la siguiente fórmula:
| $ D_H = \displaystyle\frac{ 4 S }{ P }$ |
Cuando se trata de una sección circular, obtenemos el diámetro tradicional de un círculo de la siguiente manera:
$D_H = \displaystyle\frac{4 S}{P} = \displaystyle\frac{4 \pi R^2}{2 \pi R} = 2R$
ID:(14527, 0)
Radio hidráulico
Ecuación
En el contexto del factor de fricción de Darcy-Weisbach, se utiliza un radio hidráulico que es una generalización del radio tradicional de un círculo. De esta manera, es posible calcular un diámetro basado en el área de la sección $S$ y su perímetro en contacto con el líquido $P$ mediante la siguiente fórmula:
| $ R_H = \displaystyle\frac{ S }{ P_H }$ |
Cuando se trata de una sección circular, podemos obtener el radio hidráulico tradicional de un círculo de la siguiente manera:
$R_H = \displaystyle\frac{S}{P} = \displaystyle\frac{\pi R^2}{2 \pi R} = \displaystyle\frac{1}{2} R$
ID:(14531, 0)
Profundidad de un tubo no lleno
Ecuación
En un tubo cilíndrico, la profundidad está vinculada al flujo de la siguiente manera:
Si integramos la sección, podemos calcular cómo varía la superficie en función de la profundidad mediante la siguiente expresión:
$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$
Para flujos pequeños, donde la profundidad es significativamente menor que el radio, la relación entre la sección y la profundidad se simplifica notablemente. Al resolver la ecuación de profundidad, obtenemos:
| $ h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$ |
La sección del tubo que contiene el líquido se puede integrar en función de la altura de la siguiente manera:
$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$
Si desarrollamos esta expresión en términos del factor $h/R$ en el límite $h\ll R$, obtenemos en primer orden:
$S = \sqrt{\displaystyle\frac{2^3}{3^2} R h ^3}$
Si resolvemos para la profundidad, obtenemos finalmente:
| $ h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$ |
ID:(14541, 0)
Perímetro hidrodinámico en tubo no lleno
Ecuación
El perímetro hidrodinámico de un tubo parcialmente lleno corresponde a los bordes de la sección que están en contacto con el líquido, es decir, el arco que toca la pared del tubo y la superficie:
De esta manera, en general, podemos expresarlo como:
$P_H = 2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right) + 2\sqrt{2Rh-h^2}$
Para flujos pequeños, donde la profundidad es considerablemente menor que el radio, esto simplifica la relación entre la sección y la profundidad a:
| $ P_H = \sqrt{2^5 R h }$ |
Dado que el ángulo se puede calcular mediante la fórmula:
$\phi =\arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$
El arco corresponde a $R\phi$, por lo tanto, el arco total es:
$2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$
De manera análoga, la mitad de la superficie se puede determinar utilizando el teorema de Pitágoras, lo que resulta en:
$\sqrt{2Rh - h^2}$
Por lo tanto, el perímetro hidrodinámico se expresa como:
$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$
En el límite de una altura pequeña, donde $h\ll R$, esta expresión se puede desarrollar, resultando en:
| $ P_H = \sqrt{2^5 R h }$ |
ID:(14542, 0)
Diagrama de Moody
Imagen
En 1944, Lewis Ferry Moody realizó mediciones del factor de fricción de Darcy-Weisbach en función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa de la pared, lo que resultó en la creación del siguiente diagrama:
La rugosidad relativa se puede estimar considerando el tamaño de las rugosidades (altura de elementos que sobresalen o profundidades de hendiduras) en relación con el diámetro hidrodinámico.
Se observan dos comportamientos distintos:
• Para números de Reynolds inferiores a 2000, el factor de fricción de Darcy-Weisbach depende solo del número de Reynolds, siguiendo una relación de $64/Re$. Esto corresponde al régimen laminar.
• Para números de Reynolds superiores a 2000, se observa un comportamiento que depende tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa de la superficie del tubo.
ID:(14528, 0)
Límite laminar
Ecuación
En el límite de bajos números de Reynolds, el diagrama de Moody indica que el factor de fricción de Darcy-Weisbach, $f_D$, es igual a:
| $ f_D = \displaystyle\frac{64}{ Re }$ |
donde $Re$ es el número de Reynolds. Esto es válido para números de Reynolds hasta 2000. Más allá de este valor, la rugosidad de la pared comienza a influir en la destabilización del flujo y en la formación de turbulencias.
ID:(14529, 0)
Flujo en el límite laminar
Descripción
Si reemplazamos el factor de fricción de Darcy-Weisbach en el límite laminar, dado por
| $ f_D = \displaystyle\frac{64}{ Re }$ |
en la ecuación de Darcy-Weisbach, expresada como
| $ \Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w v ^2 $ |
y utilizamos la definición del número de Reynolds $Re$, podemos demostrar que el flujo está gobernado por
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
que corresponde a la ecuación de Hagen-Poiseuille.
ID:(14530, 0)
Ecuación de Colebrook-White en tubo cerrado
Ecuación
Cuando el tubo está completamente cerrado y el líquido ocupa toda la sección del cilindro, la ecuación de Colebrook-White
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ f_D }}=-2\log\left(\displaystyle\frac{\epsilon}{3.7 D_H}+\displaystyle\frac{2.51}{ Re \sqrt{ f_D }}\right)$ |
permite estimar el factor de fricción de Darcy-Weisbach en el caso turbulento en función de la rugosidad $\epsilon$, el diámetro hidrodinámico y el número de Reynolds.
ID:(14532, 0)
Solución para tubo cerrado
Ecuación
La ecuación de Colebrook-White para el caso de un tubo cerrado:
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ f_D }}=-2\log\left(\displaystyle\frac{\epsilon}{3.7 D_H}+\displaystyle\frac{2.51}{ Re \sqrt{ f_D }}\right)$ |
es una ecuación implícita utilizada para determinar el factor de fricción de Darcy-Weisbach ($f_D$). Para resolver esta ecuación, se han desarrollado diversas aproximaciones que varían en complejidad y precisión. Una de las aproximaciones más efectivas, que abarca un amplio rango de números de Reynolds $Re$, es la propuesta por S.E. Haaland:
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
La solución original de S.E. Haaland es la siguiente:
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/D_H}{3.7}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)$
Puede resolverse para obtener la expresión del factor de fricción $f_D$ de la siguiente manera:
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
ID:(14535, 0)
Ecuación de Colebrook-White en tubo abierto
Ecuación
Cuando el tubo está abierto, es decir, cuando el líquido no ocupa toda la sección del cilindro, la ecuación de Colebrook-White
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ f_D }}=-2\log\left(\displaystyle\frac{\epsilon}{12 R_H}+\displaystyle\frac{2.51}{ Re \sqrt{ f_D }}\right)$ |
permite estimar el factor de fricción de Darcy-Weisbach en el caso turbulento en función de la rugosidad $\epsilon$, el diámetro hidrodinámico y el número de Reynolds.
ID:(14533, 0)
Solución para tubo abierto
Ecuación
La ecuación de Colebrook-White para el caso de un tubo cerrado:
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ f_D }}=-2\log\left(\displaystyle\frac{\epsilon}{12 R_H}+\displaystyle\frac{2.51}{ Re \sqrt{ f_D }}\right)$ |
es una ecuación implícita utilizada para determinar el factor de fricción de Darcy-Weisbach ($f_D$). Para resolver esta ecuación, se han desarrollado diversas aproximaciones que varían en complejidad y precisión. Una de las aproximaciones más efectivas, que abarca un amplio rango de números de Reynolds $Re$, es la propuesta por S.E. Haaland:
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
La solución original de S.E. Haaland es la siguiente:
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/R_H}{12}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)$
Puede resolverse para obtener la expresión del factor de fricción $f_D$ de la siguiente manera:
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
ID:(14534, 0)
Perfil de velocidad de flujo turbulento en tubo
Imagen
El perfil de velocidad en un flujo turbulento a través de un tubo muestra dos zonas distintas en función de la distancia a la superficie ($z$), donde $\delta$ es el espesor de la capa límite. En la zona cercana a la superficie ($z < \delta$), el flujo es esencialmente laminar, mientras que en la zona más alejada de la superficie ($z > \delta$), el flujo se vuelve turbulento.
En la región laminar, la velocidad es proporcional a la distancia normalizada:
$u^+ = y^+$
Esta relación es similar al perfil de velocidad de Hagen-Poiseuille cerca de la pared y representa una aproximación lineal.
En la región turbulenta, el perfil de velocidad normalizado tiene una forma logarítmica:
$u^+ = \displaystyle\frac{1}{\kappa} \ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)$
Aquí, $\kappa$ es la constante de Karman (aproximadamente $0.41$) y $y_0\sim 1/8$ es la distancia normalizada en la que la velocidad sería cero. Sin embargo, es importante tener en cuenta que el ancho de la capa laminar, según el gráfico, es de aproximadamente 7.072 veces mayor que $y_0$.
ID:(14536, 0)
Velocidad de corte
Ecuación
En el limite laminar el perfil de velocidad esta dado por
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
que en el limite de radios proximos a la pared ($r \sim R$) nos permite definir la distancia
$y^+=\displaystyle\frac{\rho_w u_{\tau}}{\eta} y$
y velocidad
$u^+=\displaystyle\frac{u}{u_{\tau}}$
normadas con lo que la ley logaritmica de la velocidad turbulenta es
| $ u_{\tau} =\sqrt{\displaystyle\frac{ R }{2 \rho_w }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }}$ |
En el flujo laminar, según Hagen Poiseuille, el perfil de velocidad se define como:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
con la ecuación adicional:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Esto nos proporciona una relación para la velocidad en función de la distancia a la pared:
$v=v_{max}\displaystyle\frac{2y}{R}=\displaystyle\frac{R}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}y$
que corresponde a la relación normalizada:
$u^+=y^+$
Cuando se considera la velocidad de corte $u_{\tau}$, la velocidad normalizada se expresa como:
$u^+=\displaystyle\frac{v}{u_{\tau}}$
y la distancia a la pared normalizada es:
$y^+=\displaystyle\frac{\rho_w u_{\tau}}{\eta} y$
Por lo tanto, obtenemos:
$u^+=\displaystyle\frac{v}{u_{\tau}}=\displaystyle\frac{R\Delta p}{2\eta\Delta L u_{\tau}}y=y^+=\displaystyle\frac{\rho_w u_{\tau}}{\eta}y$
lo que nos lleva a:
| $ u_{\tau} =\sqrt{\displaystyle\frac{ R }{2 \rho_w }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }}$ |
ID:(14538, 0)
Ecuación de perfil de velocidad de flujo turbulento
Ecuación
De manera empírica, se ha determinado que la velocidad en el flujo turbulento dentro de un tubo sigue la siguiente forma:
$u^+ = \displaystyle\frac{1}{\kappa} \ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)$
Utilizando la velocidad de corte
| $ u_{\tau} =\sqrt{\displaystyle\frac{ R }{2 \rho_w }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }}$ |
podemos describir la velocidad en el flujo turbulento a través de un tubo como:
| $ v_y = \displaystyle\frac{ u_{\tau} }{ \kappa }\ln\left(\displaystyle\frac{8 \rho_w u_{\tau} y }{ \eta }\right)$ |
De manera empírica, se ha determinado que la velocidad en el flujo turbulento dentro de un tubo sigue la siguiente forma:
$u^+ = \displaystyle\frac{1}{\kappa} \ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)$
Donde la velocidad normalizada se expresa como:
$u^+=\displaystyle\frac{v}{u_{\tau}}$
Y la distancia normalizada a la pared se define como:
$y^+=\displaystyle\frac{\rho_w u_{\tau}}{\eta}y$
Con la velocidad de corte dada por:
| $ u_{\tau} =\sqrt{\displaystyle\frac{ R }{2 \rho_w }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }}$ |
Esto nos lleva a obtener:
| $ v_y = \displaystyle\frac{ u_{\tau} }{ \kappa }\ln\left(\displaystyle\frac{8 \rho_w u_{\tau} y }{ \eta }\right)$ |
en que se asume $y_0 \sim 1/8$.
ID:(14537, 0)
Grosor de capa de flujo laminar
Ecuación
El grosor de la capa laminar se puede definir en función de que los perfiles de velocidad laminar coincidan con el perfil logarítmico correspondiente al flujo turbulento. Esto ocurre cuando
$y^+=u^+=\displaystyle\frac{1}{\kappa}\ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)$
cuya raíz es $7.072$. Dado que esta es una estimación de grosor y la normalización incluye un factor $1/8$, se pueden simplificar los números en primer orden y estimar el grosor como:
| $ \delta = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w u_{\tau} }$ |
En la capa laminar, el flujo tiene la forma
$u^+ = y^+$
mientras que en la región turbulenta es
$u^+=\displaystyle\frac{1}{\kappa}\ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)$
Al igualar ambas funciones para definir el borde, obtenemos la ecuación
$y^+=\displaystyle\frac{1}{\kappa}\ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)$
cuya solución numérica es
$y^+=7.072 \text{ y } y_0=\displaystyle\frac{7.072}{8}\sim 1$
donde se utilizó el valor empírico de $y_0=1/8$ y, dado que esto es una estimación, asumimos que $7/8\sim 1$.
Con la definición de la normalización
$y^+=\displaystyle\frac{\rho_w u_{\tau}}{\eta} y = 1$
y resolviendo para $y$, obtenemos
| $ \delta = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w u_{\tau} }$ |
ID:(14539, 0)
Tensión de cizalla sobre paredes
Ecuación
La velocidad de corte $u_{\tau}$ está directamente relacionada con la tensión de cizallamiento $\tau_w$ que el flujo genera en las paredes del tubo:
| $ \tau_w = \rho u_{\tau} ^2$ |
Esto ejerce fuerzas sobre las paredes y afecta a sistemas que pueden moverse, similar al caso en el que fluye aire sobre agua.
ID:(14540, 0)