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Turbulente Strömung durch Rohre
Storyboard
Wenn die Reynoldszahl über 2000 liegt, wird der Fluss in einem Rohr immer instabil und wird schließlich vollständig turbulent. Infolgedessen ist es nicht mehr möglich, die Viskositätsannahme für laminare Strömung zu verwenden, die zur Hagen-Poiseuille-Gesetz führt, und ein alternatives Modell ist erforderlich.
Das Modell, das einen Fluss beschreibt, bei dem die Viskosität irrelevant ist, ist dasjenige, das zur Bernoulli-Gleichung führt. Dieses Modell geht jedoch davon aus, dass die Energiedichte erhalten bleibt. Eine Alternative besteht darin anzunehmen, dass Turbulenzen zu einer Durchmischung führen, bei der die Energiedichte nicht erhalten bleibt, sondern konstant bleibt. In diesem Fall kann der Fluss mit einer Gleichung modelliert werden, die der Bernoulli-Gleichung ähnelt, jedoch eine Korrektur zur Berücksichtigung der Homogenisierung aufgrund von Mischungseffekten enthält.
ID:(1970, 0)
Turbulenzmodellierung
Bild
Laminare Strömung wird durch "Schichten" beschrieben, die sich koordiniert mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen. In turbulentem Fluss hingegen existieren solche Schichten nicht. Die Fluidelemente werden abgelenkt, können ihre Richtung ändern und nehmen oft in chaotischer Weise an kreisförmigen Bewegungen teil.
Die erste Konsequenz davon ist, dass die Fluidparameter dazu neigen, sich zu vermischen, wodurch die Geschwindigkeitsunterschiede verschwinden und eine Art mittlere Geschwindigkeit entsteht. Durch Mittelung der Bewegung ergeben sich strukturierte Muster, die jedoch nicht mehr von individuellen Fluidelementen stammen, sondern eher von einer zeitlichen Mischung. Als Ergebnis entsteht ein relativ konstantes Profil, das den in laminarer Strömung definierten Profilen ähnelt, in diesem Fall jedoch Durchschnittswerte sind und weniger große Gradienten aufweisen, was sie gleichmäßiger macht.
ID:(14525, 0)
Darcy-Weisbach-Gleichung
Gleichung
Wenn der Fluss in einem Rohr modelliert wird und angenommen wird, dass die Dichte der Energie erhalten bleibt, erhalten wir die Bernoulli-Gleichung, die in diesem Fall den Fluss beschreibt als:
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
wobei $\Delta p$ der Druckunterschied, $\rho$ die Dichte und $v$ die Geschwindigkeit ist.
Im turbulenten Flussverhalten wirkt der Mischprozess wie Reibung und reduziert den Geschwindigkeitsgradienten, der im laminaren Fluss zwischen der Mitte und dem Rand des Flusses besteht. Wenn wir annehmen, dass dieser Mischfaktor empirisch mit einem Korrekturfaktor modelliert werden kann, gelangen wir empirisch zur Darcy-Weisbach-Gleichung:
 $ \Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w v ^2 $ |
wobei $f_D$ der Darcy-Reibungsfaktor, $\Delta L$ die Länge und $D_H$ der hydraulische Durchmesser des Rohres ist.
Der Reibungsfaktor wurde empirisch für verschiedene Situationen ermittelt und wird als Funktion der Reynoldszahl ausgedrückt.
ID:(14526, 0)
Hydraulischer Durchmesser
Gleichung
Im Fall der Darcy-Weisbach-Gleichung arbeiten wir mit einem hydraulischen Durchmesser, der einer Verallgemeinerung des traditionellen Durchmessers eines Kreises entspricht. Dies ermöglicht es uns, einen nicht-kreisförmigen Querschnitt zu verwenden und einen Durchmesser basierend auf der Fläche des Querschnitts, bezeichnet als $S$, und seinem Umfang, bezeichnet als $P$, mit folgender Formel zu berechnen:
| $ D_H = \displaystyle\frac{ 4 S }{ P }$ |
Für den Fall eines kreisförmigen Querschnitts erhalten wir den traditionellen Durchmesser eines Kreises wie folgt:
$D_H = \displaystyle\frac{4S}{P} = \displaystyle\frac{4\pi R^2}{2\pi R} = 2R$
ID:(14527, 0)
Hydraulischer Radius
Gleichung
Im Zusammenhang mit dem Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor arbeiten wir mit einem hydraulischen Radius, der einer Verallgemeinerung des traditionellen Radius eines Kreises entspricht. Auf diese Weise können wir einen Durchmesser basierend auf der Fläche des Querschnitts $S$ und seinem Umfang in Kontakt mit der Flüssigkeit $P$ mithilfe der folgenden Formel berechnen:
| $ R_H = \displaystyle\frac{ S }{ P_H }$ |
Wenn es sich um einen kreisförmigen Querschnitt handelt, erhalten wir den traditionellen Radius eines Kreises wie folgt:
$R_H = \displaystyle\frac{S}{P} = \displaystyle\frac{\pi R^2}{2 \pi R} = \displaystyle\frac{1}{2} R$
ID:(14531, 0)
Tiefe einer ungefüllten Röhre
Gleichung
In einem zylindrischen Rohr hängt die Tiefe vom Fluss ab:
Wenn wir den Querschnitt integrieren, können wir berechnen, wie die Oberfläche von der Tiefe abhängt, mithilfe der folgenden Gleichung:
$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$
Für geringe Strömungsraten, bei denen die Tiefe signifikant kleiner ist als der Radius, vereinfacht sich die Beziehung zwischen dem Querschnitt und der Tiefe erheblich. Bei der Lösung für die Tiefe erhalten wir:
| $ h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$ |
Die Querschnittsfläche des Rohres, die die Flüssigkeit enthält, kann in Bezug auf die Höhe wie folgt integriert werden:
$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$
Wenn wir diesen Ausdruck in Bezug auf den Faktor $h/R$ im Grenzwert $h\ll R$ entwickeln, erhalten wir im ersten Grad:
$S = \sqrt{\displaystyle\frac{2^3}{3^2} R h ^3}$
Wenn wir dies nach der Tiefe auflösen, erhalten wir schließlich:
| $ h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$ |
ID:(14541, 0)
Hydrodynamischer Umfang im ungefüllten Rohr
Gleichung
Der hydrodynamische Umfang eines teilweise gefüllten Rohres entspricht den Kanten des Abschnitts, der mit der Flüssigkeit in Kontakt steht, nämlich dem Bogen, der die Rohrwand berührt, und der Oberfläche:
Im Allgemeinen kann dies wie folgt ausgedrückt werden:
$P_H = 2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right) + 2\sqrt{2Rh-h^2}$
Für geringe Flüsse, bei denen die Tiefe deutlich kleiner ist als der Radius, vereinfacht sich diese Beziehung zwischen dem Querschnitt und der Tiefe zu:
| $ P_H = \sqrt{2^5 R h }$ |
Angesichts der Tatsache, dass der Winkel wie folgt berechnet werden kann:
$\phi =\arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$
Entspricht der Bogen $R\phi$, daher beträgt die Gesamtbogenlänge:
$2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$
Ähnlich kann die Hälfte der Fläche mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, was zu folgendem Ergebnis führt:
$\sqrt{2Rh - h^2}$
Somit wird der hydrodynamische Umfang wie folgt ausgedrückt:
$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$
Im Grenzbereich einer kleinen Höhe, in dem $h\ll R$, kann dieser Ausdruck entwickelt werden, was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ P_H = \sqrt{2^5 R h }$ |
ID:(14542, 0)
Moody Diagramm
Bild
Im Jahr 1944 maß Lewis Ferry Moody den Darcy-Weisbach Reibungsfaktor als Funktion der Reynolds-Zahl und der relativen Rauheit der Wand, was zur Erstellung des folgenden Diagramms führte:
Die relative Rauheit kann geschätzt werden, indem die Größe der Oberflächenrauheit (Höhe der Vorsprünge oder Tiefe der Vertiefungen) im Verhältnis zum hydraulischen Durchmesser berücksichtigt wird.
Es sind zwei unterschiedliche Verhaltensweisen zu beobachten:
• Für Reynolds-Zahlen unter 2000 hängt der Darcy-Weisbach Reibungsfaktor nur von der Reynolds-Zahl ab und folgt einer Beziehung von $64/Re$. Dies entspricht dem laminaren Strömungsregime.
• Für Reynolds-Zahlen über 2000 wird ein Verhalten beobachtet, das sowohl von der Reynolds-Zahl als auch von der relativen Rauheit der Oberfläche des Rohrs abhängt.
ID:(14528, 0)
Laminare Grenze
Gleichung
Für niedrige Reynoldszahlen zeigt das Moody-Diagramm, dass der Darcy-Weisbach Reibungsfaktor $f_D$ gleich ist:
| $ f_D = \displaystyle\frac{64}{ Re }$ |
wobei $Re$ die Reynoldszahl ist. Dies gilt für Reynoldszahlen bis zu 2000. Über diesem Wert beginnt die Wandrauheit den Strömungsverlauf zu beeinflussen und die Bildung von Turbulenzen zu fördern.
ID:(14529, 0)
Strömung an der laminaren Grenze
Beschreibung
Wenn wir den Darcy-Weisbach Reibungsfaktor im laminaren Grenzbereich, wie durch
| $ f_D = \displaystyle\frac{64}{ Re }$ |
gegeben, in die Darcy-Weisbach-Gleichung einsetzen, die wie folgt ausgedrückt wird:
| $ \Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w v ^2 $ |
und die Definition der Reynolds-Zahl $Re$ verwenden, können wir zeigen, dass der Fluss durch
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
geregelt wird, was der Hagen-Poiseuille-Gleichung entspricht.
ID:(14530, 0)
Colebrook-White-Gleichung in geschlossener Röhre
Gleichung
Wenn das Rohr vollständig geschlossen ist, das heißt, der Zylinder hat keine obere Öffnung, und die Flüssigkeit die gesamte Querschnittsfläche ausfüllt, erlaubt die Colebrook-White-Gleichung
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ f_D }}=-2\log\left(\displaystyle\frac{\epsilon}{3.7 D_H}+\displaystyle\frac{2.51}{ Re \sqrt{ f_D }}\right)$ |
die Abschätzung des Darcy-Weisbach-Reibungsfaktors im turbulenten Strömungsbereich basierend auf der Rauheit $\epsilon$, dem hydraulischen Durchmesser und der Reynolds-Zahl.
ID:(14532, 0)
Lösung für geschlossene Röhren
Gleichung
Die Colebrook-White-Gleichung für den Fall eines geschlossenen Rohres:
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ f_D }}=-2\log\left(\displaystyle\frac{\epsilon}{3.7 D_H}+\displaystyle\frac{2.51}{ Re \sqrt{ f_D }}\right)$ |
ist eine implizite Gleichung, die zur Bestimmung des Darcy-Weisbach-Reibungsfaktors ($f_D$) verwendet wird. Zur Lösung dieser Gleichung wurden verschiedene Näherungsverfahren entwickelt, die in Bezug auf Komplexität und Genauigkeit variieren. Eine der effektivsten Näherungen, die einen weiten Bereich von Reynolds-Zahlen $Re$ abdeckt, stammt von S.E. Haaland:
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
Die ursprüngliche Lösung von S.E. Haaland lautet wie folgt:
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/D_H}{3.7}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)$
Sie kann umgestellt werden, um den Ausdruck für den Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor $f_D$ wie folgt zu erhalten:
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
ID:(14535, 0)
Colebrook-White-Gleichung im offenen Rohr
Gleichung
Wenn das Rohr geöffnet ist, das heißt, wenn die Flüssigkeit nicht den gesamten Zylinderquerschnitt ausfüllt, erlaubt die Colebrook-White-Gleichung
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ f_D }}=-2\log\left(\displaystyle\frac{\epsilon}{12 R_H}+\displaystyle\frac{2.51}{ Re \sqrt{ f_D }}\right)$ |
die Abschätzung des Darcy-Weisbach-Reibungsfaktors im turbulenten Strömungsbereich basierend auf der Rauheit $\epsilon$, dem hydraulischen Durchmesser und der Reynolds-Zahl.
ID:(14533, 0)
Lösung für offene Röhren
Gleichung
Die Colebrook-White-Gleichung für den Fall eines geschlossenen Rohres:
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ f_D }}=-2\log\left(\displaystyle\frac{\epsilon}{12 R_H}+\displaystyle\frac{2.51}{ Re \sqrt{ f_D }}\right)$ |
ist eine implizite Gleichung, die zur Bestimmung des Darcy-Weisbach-Reibungsfaktors ($f_D$) verwendet wird. Zur Lösung dieser Gleichung wurden verschiedene Näherungsverfahren entwickelt, die in Bezug auf Komplexität und Genauigkeit variieren. Eine der effektivsten Näherungen, die einen weiten Bereich von Reynolds-Zahlen $Re$ abdeckt, stammt von S.E. Haaland:
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
Die ursprüngliche Lösung von S.E. Haaland lautet wie folgt:
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/R_H}{12}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)$
Sie kann umgestellt werden, um den Ausdruck für den Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor $f_D$ wie folgt zu erhalten:
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
ID:(14534, 0)
Turbulentes Strömungsgeschwindigkeitsprofil im Rohr
Bild
Das Geschwindigkeitsprofil eines turbulenten Strömungsverlaufs durch ein Rohr zeigt zwei verschiedene Zonen in Abhängigkeit von der Entfernung zur Oberfläche ($z$), wobei $\delta$ die Dicke der Grenzschicht darstellt. In der Nähe der Oberfläche ($z < \delta$) ist die Strömung im Wesentlichen laminar, während sie in der weiter entfernten Zone von der Oberfläche ($z > \delta$) turbulent wird.
Im laminaren Bereich ist die Geschwindigkeit proportional zur normierten Entfernung:
$u^+ = y^+$
Diese Beziehung ähnelt einem Hagen-Poiseuille-Geschwindigkeitsprofil nahe der Wand und stellt eine lineare Annäherung dar.
Im turbulenten Bereich hat das normierte Geschwindigkeitsprofil eine logarithmische Form:
$u^+ = \displaystyle\frac{1}{\kappa} \ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)$
Hierbei ist $\kappa$ die Karman-Konstante (ungefähr $0,41$) und $y_0\sim 1/8$ ist der normierte Abstand, bei dem die Geschwindigkeit null wäre. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass die Breite der laminaren Schicht, wie im Diagramm gezeigt, etwa 7,072-mal größer ist als $y_0$.
ID:(14536, 0)
Schneidgeschwindigkeit
Gleichung
Im laminaren Grenzschichtbereich wird das Geschwindigkeitsprofil durch die Gleichung
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
gegeben, die im Grenzfall von Abständen nahe der Wand ($r \sim R$) uns ermöglicht, den dimensionslosen Abstand
$y^+=\displaystyle\frac{\rho_w u_{\tau}}{\eta} y$
und die dimensionslose Geschwindigkeit
$u^+=\displaystyle\frac{u}{u_{\tau}}$
zu definieren. Durch die Normalisierung dieser Werte erhalten wir das logarithmische Gesetz der turbulenten Geschwindigkeit
| $ u_{\tau} =\sqrt{\displaystyle\frac{ R }{2 \rho_w }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }}$ |
Im laminaren Fluss, gemäß Hagen-Poiseuille, ist das Geschwindigkeitsprofil wie folgt definiert:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
zusammen mit der zusätzlichen Gleichung:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Dies liefert uns eine Beziehung für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Entfernung zur Wand:
$v=v_{max}\displaystyle\frac{2y}{R}=\displaystyle\frac{R}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}y$
die der normalisierten Beziehung entspricht:
$u^+=y^+$
Mit der Schubgeschwindigkeit $u_{\tau}$ ergibt sich die normalisierte Geschwindigkeit als:
$u^+=\displaystyle\frac{v}{u_{\tau}}$
und die normierte Entfernung zur Wand lautet:
$y^+=\displaystyle\frac{\rho_w u_{\tau}}{\eta} y$
Daher erhalten wir:
$u^+=\displaystyle\frac{v}{u_{\tau}}=\displaystyle\frac{R\Delta p}{2\eta\Delta L u_{\tau}}y=y^+=\displaystyle\frac{\rho_w u_{\tau}}{\eta}y$
was zu führt:
| $ u_{\tau} =\sqrt{\displaystyle\frac{ R }{2 \rho_w }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }}$ |
ID:(14538, 0)
Gleichung für das Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Strömung
Gleichung
Empirisch wurde festgestellt, dass die Geschwindigkeit im turbulenten Strömungsverlauf innerhalb eines Rohres folgende Form aufweist:
$u^+ = \displaystyle\frac{1}{\kappa} \ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)$
Mit Verwendung der Schergeschwindigkeit
| $ u_{\tau} =\sqrt{\displaystyle\frac{ R }{2 \rho_w }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }}$ |
können wir die Geschwindigkeit im turbulenten Strömungsverlauf durch ein Rohr beschreiben als:
| $ v_y = \displaystyle\frac{ u_{\tau} }{ \kappa }\ln\left(\displaystyle\frac{8 \rho_w u_{\tau} y }{ \eta }\right)$ |
Empirisch wurde festgestellt, dass die Geschwindigkeit im turbulenten Strömungsverlauf innerhalb eines Rohres folgende Form aufweist:
$u^+ = \displaystyle\frac{1}{\kappa} \ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)$
Dabei wird die normierte Geschwindigkeit durch folgende Gleichung beschrieben:
$u^+=\displaystyle\frac{v}{u_{\tau}}$
Und der normierte Abstand von der Wand ist definiert als:
$y^+=\displaystyle\frac{\rho_w u_{\tau}}{\eta}y$
Mit der Schubgeschwindigkeit, die durch folgende Gleichung gegeben ist:
| $ u_{\tau} =\sqrt{\displaystyle\frac{ R }{2 \rho_w }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }}$ |
Dies führt uns zu:
| $ v_y = \displaystyle\frac{ u_{\tau} }{ \kappa }\ln\left(\displaystyle\frac{8 \rho_w u_{\tau} y }{ \eta }\right)$ |
wo angenommen wird, dass $y_0 \sim 1/8.
ID:(14537, 0)
Schichtdicke der laminaren Strömung
Gleichung
Die Dicke der laminaren Grenzschicht kann definiert werden, indem die Bedingung erfüllt ist, dass laminare Geschwindigkeitsprofile mit dem logarithmischen Profil übereinstimmen, das dem turbulenten Fluss entspricht. Dies tritt auf, wenn
$y^+=u^+=\displaystyle\frac{1}{\kappa}\ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)$
deren Wurzel $7,072$ beträgt. Da es sich um eine Schätzgröße handelt und die Normalisierung einen Faktor von $1/8$ enthält, können die Zahlen auf der ersten Stufe vereinfacht werden, und die Dicke kann geschätzt werden als:
| $ \delta = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w u_{\tau} }$ |
In der laminaren Schicht hat der Fluss die Form
$u^+ = y^+$
während er in der turbulenten Region folgendermaßen aussieht
$u^+=\displaystyle\frac{1}{\kappa}\ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)$
Indem wir beide Funktionen gleichsetzen, um die Grenze zu definieren, erhalten wir die Gleichung
$y^+=\displaystyle\frac{1}{\kappa}\ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)$
deren numerische Lösung
$y^+=7.072 \text{ und } y_0=\displaystyle\frac{7.072}{8}\sim 1$
ist, wobei der empirische Wert für $y_0=1/8$ verwendet wurde und da dies eine Schätzung ist, nehmen wir an, dass $7/8\sim 1$.
Mit der Definition der Normalisierung
$y^+=\displaystyle\frac{\rho_w u_{\tau}}{\eta} y = 1$
und der Lösung für $y$ erhalten wir
| $ \delta = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w u_{\tau} }$ |
ID:(14539, 0)
Schubbeanspruchung an Wänden
Gleichung
Die Schubgeschwindigkeit $u_{\tau}$ steht direkt in Verbindung mit der Schubspannung $\tau_w$, die durch den Fluss an den Wänden des Rohres erzeugt wird:
| $ \tau_w = \rho u_{\tau} ^2$ |
Dies übt Kräfte auf die Wände aus und beeinflusst Systeme, die sich bewegen können, ähnlich wie im Fall, wenn Luft über Wasser strömt.
ID:(14540, 0)