Lorsqu'on mod lise l' coulement dans un tube en supposant que la densit d' nergie est conserv e, on obtient l' quation de Bernoulli, qui d crit l' coulement l'aide de a différence de pression ($\Delta p$) en fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a vitesse moyenne du fluide ($v$) et a différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$) :

Dans le cas dun coulement turbulent, le processus de m lange agit comme une friction qui r duit le gradient de vitesse pr sent dans l coulement laminaire entre le centre et les parois du tube. Si lon suppose que cet effet de m lange peut tre mod lis par un simple facteur de correction, on arrive empiriquement l quation de Darcy-Weisbach, qui implique le facteur de frottement Darcy-Weisbach ($f_D$), le longueur du tube ($\Delta L$) et a diamètre hydrodynamique ($D_H$) :

Le facteur le facteur de frottement Darcy-Weisbach ($f_D$) a t d termin empiriquement pour diff rentes conditions d' coulement et est exprim en fonction de le le numéro de Reynold ($Re$).

(ID 15893)

En 1944, Lewis Ferry Moody a mesur le facteur de frottement de Darcy-Weisbach en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosit relative de la paroi, ce qui a conduit la cr ation du diagramme suivant :

La rugosit relative peut tre estim e en consid rant la taille des irr gularit s de surface (hauteur des saillies ou profondeur des rainures) par rapport au diam tre hydraulique.

Deux comportements distincts sont observ s :

• Pour des nombres de Reynolds inf rieurs 2000, le facteur de frottement de Darcy-Weisbach d pend uniquement du nombre de Reynolds, suivant une relation de $64/Re$. Cela correspond au r gime d' coulement laminaire.

• Pour des nombres de Reynolds sup rieurs 2000, un comportement est observ qui d pend la fois du nombre de Reynolds et de la rugosit relative de la surface du tube.

(ID 14528)

Dans le contexte de l' quation de Darcy-Weisbach, on utilise une diamètre hydrodynamique ($D_H$), qui correspond une g n ralisation du diam tre traditionnel d'un cercle. Cela permet de consid rer une section non circulaire et de calculer un diam tre quivalent bas sur la surface de a section de tube ($S$) et son le périmètre ($P$) l'aide de la formule suivante :

Pour une section circulaire, nous obtenons le diam tre traditionnel d'un cercle de la mani re suivante :

$D_H = \displaystyle\frac{4 S}{P} = \displaystyle\frac{4 \pi R^2}{2 \pi R} = 2R$

(ID 15894)

Dans le contexte du facteur de friction de Darcy-Weisbach, on utilise un rayon hydraulique ($R_H$), qui est une g n ralisation du rayon traditionnel d'un cercle. Ainsi, il est possible de calculer un diam tre bas sur la surface de a section de tube ($S$) et son p rim tre en contact avec le périmètre hydrodynamique ($P_H$) l'aide de la formule suivante :

Pour une section circulaire, nous pouvons obtenir le rayon hydraulique traditionnel d'un cercle de la mani re suivante :

$R_H = \displaystyle\frac{S}{P} = \displaystyle\frac{\pi R^2}{2 \pi R} = \displaystyle\frac{1}{2} R$

(ID 15895)

Dans un tube cylindrique, la profondeur est li e au d bit de la mani re suivante :

En int grant a coupe ou surface ($S$), nous pouvons calculer comment la surface varie en fonction de a profondeur dans un tube non rempli ($h$) travers l'int grale sur le rayon jusqu' Le rayon du tube ($R$), ce qui donne :

$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$

Pour les petits d bits, o la profondeur est significativement inf rieure au rayon, la relation entre la section transversale et la profondeur se simplifie consid rablement. En r solvant l' quation de profondeur, nous obtenons :

(ID 15896)

Le périmètre hydrodynamique ($P_H$) dans un tube partiellement rempli correspond aux bords de la section en contact avec le liquide, cest- -dire larc qui touche la fois la paroi du tube et la surface :

Ainsi, on peut lexprimer en fonction de le rayon du tube ($R$) et a profondeur dans un tube non rempli ($h$) de la mani re suivante :

$P_H = 2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right) + 2\sqrt{2Rh-h^2}$

Pour les faibles d bits, lorsque la profondeur est nettement inf rieure au rayon, cela simplifie la relation entre la section transversale et la profondeur :

(ID 15897)

Si nous rempla ons le facteur de frottement de Darcy-Weisbach dans la limite laminaire, donn par

dans l' quation de Darcy-Weisbach, exprim e comme

et utilisons la d finition du nombre de Reynolds $Re$, nous pouvons d montrer que l' coulement est r gi par

ce qui correspond l' quation de Hagen-Poiseuille.

(ID 14530)

L' quation de Darcy-Weisbach permet de calculer a différence de pression ($\Delta p$) en fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a diamètre hydrodynamique ($D_H$), le facteur de frottement Darcy-Weisbach ($f_D$), le longueur du tube ($\Delta L$) et a vitesse moyenne du fluide ($v$) travers :

(ID 14526)

Une densité de flux ($j_s$) peut tre exprim en termes de le volumique flux ($J_V$) l'aide de a coupe ou surface ($S$) par la formule suivante :

(ID 4349)

A diamètre hydrodynamique ($D_H$) peut tre calcul partir de a section de tube ($S$) et le périmètre ($P$) via :

(ID 14527)

Le rayon hydraulique ($R_H$) peut tre calcul l'aide de a section de tube ($S$) et le périmètre hydrodynamique ($P_H$) via :

(ID 14531)

A profondeur dans un tube non rempli ($h$) peut tre estim lorsque le niveau du liquide est bas, c'est- -dire lorsque ce niveau est bien inf rieur au rayon du tube, en fonction de a coupe ou surface ($S$) et le rayon du tube ($R$) :

(ID 14541)

Le périmètre hydrodynamique ($P_H$) peut tre estim partir de a profondeur dans un tube non rempli ($h$) et le rayon du tube ($R$) en utilisant :

(ID 14542)

Le crit re cl pour d terminer si un milieu est lamin ou turbulent est le num ro de Reynolds, qui compare l' nergie associ e l'inertie celle associ e la viscosit . La premi re d pend de a densité ($\rho$), a vitesse moyenne du fluide ($v$) et a dimension typique du système ($R$), tandis que la seconde d pend de a viscosité ($\eta$), le d finissant ainsi :

(ID 3177)

Dans la limite de faibles le le numéro de Reynold ($Re$), le diagramme de Moody indique que le facteur de frottement Darcy-Weisbach ($f_D$) est gal :

o $Re$ est le nombre de Reynolds. Ceci s'applique pour les nombres de Reynolds jusqu' 2000. Au-del de cette valeur, la rugosit de la paroi commence influencer la d stabilisation de l' coulement et la formation de turbulences.

(ID 14529)

L' quation de Colebrook-White pour le cas d'un tube ferm :

est une quation implicite utilis e pour d terminer le coefficient de friction de Darcy-Weisbach ($f_D$). Pour r soudre cette quation, plusieurs approximations ont t d velopp es, variant en termes de complexit et de pr cision. L'une des approximations les plus efficaces couvrant une large gamme de nombres de Reynolds $Re$ est celle propos e par S.E. Haaland :

(ID 14535)

L' quation de Colebrook-White pour le cas d'un tube ferm :

est une quation implicite utilis e pour d terminer le coefficient de friction de Darcy-Weisbach ($f_D$). Pour r soudre cette quation, plusieurs approximations ont t d velopp es, variant en termes de complexit et de pr cision. L'une des approximations les plus efficaces couvrant une large gamme de nombres de Reynolds $Re$ est celle propos e par S.E. Haaland :

(ID 14534)

La diff rence de hauteur, repr sent e par a différence de hauteur ($\Delta h$), implique que la pression dans les deux colonnes est diff rente. En particulier, a différence de pression ($\Delta p$) est une fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), et a différence de hauteur ($\Delta h$), comme suit :

(ID 4345)

L' quation de Darcy-Weisbach permet de calculer a différence de pression ($\Delta p$) en fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a diamètre hydrodynamique ($D_H$), le facteur de frottement Darcy-Weisbach ($f_D$), le longueur du tube ($\Delta L$) et a vitesse moyenne du fluide ($v$) travers :

(ID 15958)