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La loi de Darcy
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La loi de Hagen-Poiseuille pour le débit total peut être reformulée en termes de différence de pression, de débit et d'un facteur pouvant être caractérisé comme une résistance hydraulique, ce qui conduit à ce que l'on connaît sous le nom de loi de Darcy.
ID:(877, 0)
Flux laminaire à travers un tube
Concept
Lorsqu'un tube rempli de liquide d'une viscosité de viscosité ($\eta$) est exposé à A pression en position initiale ($p_i$) en le positionner au début du tube ($L_i$) et a pression en position finale (e) ($p_e$) en le positionner au bout du tube ($L_e$), cela génère une différence de pression ($\Delta p$) le long de le longueur du tube ($\Delta L$), ce qui donne le profil de a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) :
Dans les écoulements avec de faibles valeurs de le le numéro de Reynold ($Re$), où la viscosité est plus significative que l'inertie du liquide, l'écoulement se développe de manière laminée, c'est-à-dire sans la présence de turbulences.
ID:(2218, 0)
Loi de Hagen Poiseuille
Équation
Si nous examinons le profil de a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) pour un fluide dans un canal cylindrique de rayon rayon du cylindre ($R$), dans lequel a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) varie en fonction de ($$), nous pouvons l'intégrer sur toute la section transversale du canal :
$J_V= \pi \displaystyle\int_0^Rdr r v(r)$
Cela conduit à la loi de Hagen-Poiseuille avec les paramètres le volumique flux ($J_V$), a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$) et le longueur du tube ($\Delta L$) :
 $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si nous examinons le profil de vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) pour un fluide dans un canal cylindrique, où A vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) varie en fonction de rayon de position dans un tube ($r$) selon l'expression suivante :
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
avec le rayon du cylindre ($R$) et a vitesse maximal ($v_{max}$). Nous pouvons calculer a vitesse maximal ($v_{max}$) en utilisant a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$), et le longueur du tube ($\Delta L$) comme suit :
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si nous intégrons la vitesse sur toute la section transversale du canal, nous obtenons le volumique flux ($J_V$), défini comme l'intégrale de $\pi r v(r)$ par rapport à rayon de position dans un tube ($r$) de $0$ à rayon du cylindre ($R$). Cette intégrale peut être simplifiée comme suit :
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
L'intégration donne la loi de Hagen-Poiseuille résultante :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Les articles originaux qui ont donné naissance à cette loi avec un nom combiné étaient:
• Gotthilf Hagen : "Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sur les lois régissant l'écoulement de l'eau dans des récipients cylindriques), Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).
• Jean-Louis-Marie Poiseuille : "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).
ID:(3178, 0)
Conductance hydraulique d'un tuyau
Équation
Si nous examinons la loi de Hagen-Poiseuille, qui nous permet de calculer le volumique flux ($J_V$) à partir de le rayon du cylindre ($R$), a viscosité ($\eta$), le longueur du tube ($\Delta L$) et a différence de pression ($\Delta p$) :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
nous pouvons identifier des paramètres liés à la géométrie (le longueur du tube ($\Delta L$) et le rayon du cylindre ($R$)) et au type de liquide (a viscosité ($\eta$)), qui peuvent être collectivement désignés sous le nom de une conductance hydraulique ($G_h$) :
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
ID:(15102, 0)
Loi de Darcy et conductance hydraulique
Équation
Avec l'introduction de a conductance hydraulique ($G_h$), nous pouvons réécrire l'équation de Hagen-Poiseuille avec a différence de pression ($\Delta p$) et le volumique flux ($J_V$) à l'aide de l'équation suivante :
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
Si nous examinons la loi de Hagen-Poiseuille, qui nous permet de calculer le volumique flux ($J_V$) à partir de le rayon du cylindre ($R$), a viscosité ($\eta$), le longueur du tube ($\Delta L$) et a différence de pression ($\Delta p$) :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
nous pouvons introduire a conductance hydraulique ($G_h$), défini en termes de le longueur du tube ($\Delta L$), le rayon du cylindre ($R$) et a viscosité ($\eta$), de la manière suivante :
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
pour obtenir :
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
ID:(14471, 0)
Conductance hydraulique
Équation
Dans le contexte de la résistance électrique, son inverse existe, connu sous le nom de conductance électrique. De manière similaire, ce qui serait a conductance hydraulique ($G_h$) peut être défini en termes de a résistance hydraulique ($R_h$) à travers l'expression :
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
.
ID:(15092, 0)
Résistance hydraulique d'un tube
Équation
Puisque a résistance hydraulique ($R_h$) est égal à l'inverse de a conductance hydraulique ($G_h$), il peut être calculé à partir de l'expression de ce dernier. De cette manière, nous pouvons identifier des paramètres liés à la géométrie (le longueur du tube ($\Delta L$) et le rayon du cylindre ($R$)) et au type de liquide (a viscosité ($\eta$)), qui peuvent être collectivement désignés sous le nom de une résistance hydraulique ($R_h$) :
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
Puisque a résistance hydraulique ($R_h$) est égal à A conductance hydraulique ($G_h$) conformément à l'équation suivante :
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
et puisque a conductance hydraulique ($G_h$) est exprimé en termes de a viscosité ($\eta$), le rayon du cylindre ($R$), et le longueur du tube ($\Delta L$) comme suit :
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
nous pouvons en conclure que :
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
ID:(3629, 0)
Loi de Darcy et résistance hydraulique
Équation
Comme le volumique flux ($J_V$) peut être calculé à partir de a conductance hydraulique ($G_h$) et de a différence de pression ($\Delta p$) en utilisant l'équation suivante :
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
il peut être exprimé en termes de a différence de pression ($\Delta p$). En considérant que l'inverse de a résistance hydraulique ($R_h$) est a conductance hydraulique ($G_h$), nous obtenons l'expression suivante :
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
Dans le cas d'un seul cylindre a résistance hydraulique ($R_h$), qui dépend de a viscosité ($\eta$), le longueur du tube ($\Delta L$), et le rayon du cylindre ($R$), il est calculé à l'aide de l'équation suivante :
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
D'autre part, la loi de Hagen-Poiseuille permet de calculer le volumique flux ($J_V$) généré par a différence de pression ($\Delta p$) selon l'équation suivante :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
En combinant ces deux équations, nous obtenons la loi de Darcy :
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
qu'Henry Darcy a formulée pour modéliser le comportement général de milieux poreux plus complexes à travers lesquels un liquide s'écoule.
Le génie de cette manière de réécrire la loi de Hagen-Poiseuille réside dans le fait qu'elle montre l'analogie entre l'écoulement du courant électrique et l'écoulement du liquide. Dans ce sens, la loi de Hagen-Poiseuille correspond à la loi d'Ohm. Cela ouvre la possibilité d'appliquer les concepts des réseaux électriques aux systèmes de canalisations à travers lesquels un liquide s'écoule.
Cette loi, également connue sous le nom de loi de Darcy-Weisbach, a été publiée pour la première fois dans l'uvre de Darcy :
• "Les fontaines publiques de la ville de Dijon", Henry Darcy, Victor Dalmont Editeur, Paris (1856).
ID:(3179, 0)
Surface d'un disque
Équation
La surface a section ($S$) d'un disque de diamètre ($$) est calculée comme suit :
| $ S = \pi r ^2$ |
ID:(3804, 0)
Perméabilité hydraulique
Équation
Lors de l'analyse de a conductance hydraulique ($G_h$), on peut remarquer que dans le numérateur, la section transversale du tube est représentée comme $\pi R^2$, où Le rayon du cylindre ($R$) correspond à une propriété du liquide, a viscosité ($\eta$) est lié à la viscosité du fluide, et le longueur du tube ($\Delta L$) concerne le gradient de pression généré.
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
Le facteur restant est désigné sous le nom de a perméabilité hydrodynamique ($k$), connu sous le nom de
| $ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$ |
.
ID:(108, 0)
Densité de flux entre les colonnes
Équation
Dans le cas d'un tube à travers lequel un liquide de a densité du liquide ($\rho_w$) s'écoule sous l'influence de a différence de pression ($\Delta p$) généré par une différence de hauteur ($\Delta h$) sous l'effet de la gravité représentée par a accélération gravitationnelle ($g$) et calculé avec l'équation:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
cette information peut être utilisée dans l'équation de Hagen-Poiseuille, en conjonction avec la définition de a densité de flux ($j_s$) en termes de le volumique flux ($J_V$), qui, à son tour, dépend de le rayon du cylindre ($R$) et de le longueur du tube ($\Delta L$) :
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
ID:(14470, 0)
Mesure de la loi de Darcy
Image
L\'expérience de Darcy comprend un cylindre rempli d\'un matériau à étudier, qui est ensuite rempli du liquide souhaité. En bas, il y a une vanne qui régule la sortie du liquide. Tant la partie supérieure que la partie inférieure ont des colonnes de liquide associées pour déterminer les pressions existantes. Ainsi, les pressions, la quantité de liquide qui s\'écoule et le temps écoulé sont mesurés, ce qui permet de déterminer la résistance hydraulique.
ID:(11104, 0)
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Video
Vidéo: La loi de Darcy