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Ley de Darcy
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La ley de Hagen-Poiseuille para el flujo total se puede expresar en términos de una diferencia de presión, el flujo y un factor que puede ser definido como una resistencia hidráulica, lo que da origen a lo que conocemos como la ley de Darcy.
ID:(877, 0)
Flujo laminar por un tubo
Concepto
Cuando se expone un tubo lleno de líquido con viscosidad ($\eta$) a la presión en la posición inicial ($p_i$) en el posición al inicio del tubo ($L_i$) y la presión en la posición final (e) ($p_e$) en el posición al final del tubo ($L_e$), se genera una diferencia de presión ($\Delta p$) a lo largo de el largo de tubo ($\Delta L$), lo que da como resultado el perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$):
En flujos con valores bajos de el número de Reynold ($Re$), donde la viscosidad es más significativa que la inercia del líquido, el flujo se desarrolla de manera laminar, es decir, sin la presencia de turbulencias.
ID:(2218, 0)
Ley de Hagen Poiseuille
Ecuación
Si consideramos el perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$) para un fluido en un canal cilíndrico de radio radio del cilindro ($R$), en el cual la velocidad en un radio del cilindro ($v$) varía en función de un radio de la posición en un tubo ($r$), podemos integrarlo en toda la sección transversal del canal:
$J_V= \pi \displaystyle\int_0^Rdr r v(r)$
Esto nos lleva a la ley de Hagen-Poiseuille con los parámetros el flujo de volumen ($J_V$), la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$):
 $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si consideramos el perfil de velocidad en un radio del cilindro ($v$) de un fluido en un canal cilíndrico, donde la velocidad en un radio del cilindro ($v$) varía en función de radio de la posición en un tubo ($r$) de acuerdo con la siguiente expresión:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
con el radio del cilindro ($R$) y la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$). Podemos calcular la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) utilizando la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si integramos la velocidad en toda la sección transversal del canal, obtendremos el flujo de volumen ($J_V$), definida como la integral de $\pi r v(r)$ con respecto a radio de la posición en un tubo ($r$) desde $0$ hasta radio del cilindro ($R$). Esta integral se simplifica de la siguiente manera:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
La integración nos lleva a la ley de Hagen-Poiseuille resultante:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Los articulos originales que dieron origen a esta ley con un nombre combinado fueron:
• Gotthilf Hagen: "Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sobre las leyes que rigen el flujo del agua en recipientes cilíndricos), Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839)
• Jean-Louis-Marie Poiseuille: "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres" (Investigación experimental sobre el movimiento de líquidos en tubos de diámetros muy pequeños), Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).
ID:(3178, 0)
Conductancia hidráulica de un tubo
Ecuación
Si observamos la ley de Hagen-Poiseuille que nos permite calcular el flujo de volumen ($J_V$) a partir de el radio del cilindro ($R$), la viscosidad ($\eta$), el largo de tubo ($\Delta L$) y la diferencia de presión ($\Delta p$):
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
podemos identificar parámetros relacionados con la geometría (el largo de tubo ($\Delta L$) y el radio del cilindro ($R$)) y el tipo de líquido (la viscosidad ($\eta$)), que pueden denominarse conjuntamente como una conductancia hidráulica ($G_h$):
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
ID:(15102, 0)
Ley de Darcy y conductancia hidráulica
Ecuación
Con la introducción de la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos reformular la ecuación de Hagen-Poiseuille con la diferencia de presión ($\Delta p$) y el flujo de volumen ($J_V$) a través de la siguiente ecuación:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
Si observamos la ley de Hagen-Poiseuille, que nos permite calcular el flujo de volumen ($J_V$) a partir de el radio del cilindro ($R$), la viscosidad ($\eta$), el largo de tubo ($\Delta L$) y la diferencia de presión ($\Delta p$):
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
podemos introducir la conductancia hidráulica ($G_h$) definido en términos de el largo de tubo ($\Delta L$), el radio del cilindro ($R$) y la viscosidad ($\eta$) de la siguiente manera:
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
y así obtener:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
ID:(14471, 0)
Conductancia hidráulica
Ecuación
En el contexto de la resistencia eléctrica, existe su inverso, conocido como la conductancia eléctrica. De manera análoga, se puede definir lo que sería la conductancia hidráulica ($G_h$) en función de la resistencia hidráulica ($R_h$) mediante la expresión:
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
ID:(15092, 0)
Resistencia hidráulica de un tubo
Ecuación
Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual al inverso de la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos calcularlo a partir de la expresión de este último. De esta manera, podemos identificar parámetros relacionados con la geometría (el largo de tubo ($\Delta L$) y el radio del cilindro ($R$)) y el tipo de líquido (la viscosidad ($\eta$)), que pueden ser denominados colectivamente como una resistencia hidráulica ($R_h$):
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual a la conductancia hidráulica ($G_h$) según la siguiente ecuación:
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
y dado que la conductancia hidráulica ($G_h$) se expresa en términos de la viscosidad ($\eta$), el radio del cilindro ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
podemos concluir que:
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
ID:(3629, 0)
Ley de Darcy y resistencia hidráulica
Ecuación
Como el flujo de volumen ($J_V$) se puede calcular a partir de la conductancia hidráulica ($G_h$) y la diferencia de presión ($\Delta p$) mediante la siguiente ecuación:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
puede despejarse en términos de la diferencia de presión ($\Delta p$), teniendo en cuenta que el inverso de la resistencia hidráulica ($R_h$) es la conductancia hidráulica ($G_h$), lo que nos lleva a la siguiente expresión:
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
El flujo de volumen ($J_V$) se puede calcular a partir de la conductancia hidráulica ($G_h$) y la diferencia de presión ($\Delta p$) mediante la siguiente ecuación:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
Por otro lado con lado con la relación para la resistencia hidráulica ($R_h$)
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
por lo que se obtiene
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
que Henry Darcy formuló para modelar el comportamiento general de medios porosos más complejos por los cuales fluye un líquido.
La genialidad de esta forma de reescribir la ley de Hagen-Poiseuille es que muestra la analogía que existe entre el flujo de corriente eléctrica y el flujo de líquido. En este sentido, la ley de Hagen-Poiseuille corresponde a la ley de Ohm. Esto abre la posibilidad de aplicar los conceptos de redes eléctricas a sistemas de tuberías por donde fluye un líquido.
Esta ley, también conocida como Ley de Darcy-Weisbach, fue publicada por primera vez en la obra de Darcy:
• "Les fontaines publiques de la ville de Dijon" ("Las Fuentes Públicas de la Ciudad de Dijon"), Henry Darcy, Victor Dalmont Editeur, París (1856).
ID:(3179, 0)
Flujo de volumen y su velocidad
Ecuación
Puede introducirse una densidad de flujo ($j_s$) en términos de el flujo de volumen ($J_V$) a través de la sección o superficie ($S$) mediante la siguiente expresión:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Como el flujo se define como el volumen
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
y el volumen es igual a la sección
| $ dV = S ds $ |
Como el camino recorrido
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
se obtiene que el flujo es
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Es importante tener en cuenta que en este modelo:
La densidad de flujo desempeña el papel de una velocidad promedio en toda la sección del flujo.
ID:(4349, 0)
Superficie de un disco
Ecuación
La sección ($S$) de un disco de un radio de la forma geométrica ($r$) se calcula de la siguiente manera:
| $ S = \pi r ^2$ |
ID:(3804, 0)
Permeabilidad hidráulica
Ecuación
Si examinamos la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos notar que en el numerador se encuentra la sección transversal del tubo, que se representa como $\pi R^2$, donde el radio del cilindro ($R$) corresponde a una propiedad del líquido, la viscosidad ($\eta$) está relacionado con la viscosidad del fluido, y el largo de tubo ($\Delta L$) se refiere al gradiente de presión generado.
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
El factor restante se denomina la permeabilidad hidrodinámica ($k$), conocido como
| $ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$ |
ID:(108, 0)
Densidad de flujo entre columnas
Ecuación
La ecuación de Hagen Poiseuille se puede reescribir en función de la densidad de flujo ($j_s$) en función de la permeabilidad hidrodinámica ($k$), la viscosidad ($\eta$) y el gradiente de la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$):
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Como el flujo de volumen ($J_V$), con el radio del cilindro ($R$), la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$) es con la ecuación de Hagen Poiseuille
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
se puede con la sección del flujo ($S$) y el radio del cilindro ($R$) calcular de
| $ S = \pi r ^2$ |
ademas de la densidad de flujo ($j_s$) que se define como
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
y la definición de la permeabilidad hidrodinámica ($k$)
| $ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$ |
se tiene que
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
ID:(14470, 0)
Medición de la Ley de Darcy
Imagen
El experimento de Darcy involucra un cilindro lleno con un material a estudiar y un líquido de interés. En la parte inferior del cilindro, hay una válvula que regula la salida del líquido. Tanto en la parte superior como en la inferior, hay columnas de líquido asociadas para determinar las presiones presentes. De esta manera, se miden las presiones, la cantidad de líquido que fluye y el tiempo transcurrido, lo cual permite determinar la resistencia hidráulica.
ID:(11104, 0)
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