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En el caso de una columna de líquido, se puede aplicar la ley de Bernoulli junto con el término de presión hidrostática. Sin embargo, es importante tener en cuenta que al no considerar la viscosidad del líquido, la reducción del nivel ocurre de manera uniforme. En este sentido, se puede modelar utilizando la ley de continuidad para determinar la velocidad de descenso del cilindro.

Para una columna de líquido con salida en el fondo, se observa que el comportamiento es similar a lo que se estima con Bernoulli. Las diferencias surgen debido a la formación de pequeños torbellinos en la salida, que efectivamente reducen la sección de salida y obstruyen el flujo. Sin embargo, el flujo de un líquido con baja viscosidad se puede modelar en la zona que no presenta torbellinos con la ley de Bernoulli.

>Modelo

ID:(1427, 0)

Concepto

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ID:(15487, 0)

Descripción

>Top

Cuando se tienen cuatro columnas de diferentes secciones intercomunicadas, el líquido adoptará el mismo nivel en todas ellas. Si se abre el conducto de comunicación, el líquido comenzará a fluir en dirección a la abertura donde la presión es igual a la presión ambiente. En el primer cilindro, la presión es igual a la de la columna de agua y la presión atmosférica, por lo que la diferencia con respecto a la presión en la salida es la presión de la primera columna. El líquido comienza a adquirir velocidad mientras que la presión dinámica comienza a disminuir, lo que se aprecia en columnas cada vez más pequeñas.

ID:(11092, 0)

Descripción

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Esto significa que a medida que la columna se va vaciando y la altura $h$ se reduce, la velocidad $v$ también disminuye de manera proporcional.

Los parámetros clave son:

• Diámetro interior de la cubeta: 93 mm

• Diámetro interior del canal de evacuación: 3 mm

• Longitud del canal de evacuación: 18 mm

Estos parámetros son importantes para comprender y analizar el proceso de vaciado de la columna y cómo la velocidad de salida varía con la altura.

ID:(9870, 0)

Concepto

>Top

Parámetro seleccionado

Cálculos

ID:(15490, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que un fluido o gas es un continuo, el concepto de energía ya no puede asociarse a una masa específica. Sin embargo, es posible considerar la energía contenida en un volumen del continuo y, al dividirla por el volumen mismo, se obtiene la densidad de energía ($e$). Por lo tanto, con la densidad ($\rho$), la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la altura de la columna ($h$), la aceleración gravitacional ($g$), y la presión de la columna de agua ($p_t$), tenemos:

$ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 $

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

$h_1$

Altura o profundidad 1

$m$

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

$e$

$e_1$

Densidad de energía en 1

$J/m^3$

$p$

$p_1$

Presión en la columna 1

$Pa$

$v$

$v_1$

Velocidad media del fluido en el punto 1

$m/s$

Relación

Desarrollo

Otra ecuación útil es la que corresponde a la conservación de energía, que se aplica en casos donde la viscosidad, un proceso en el cual se pierde energía, puede ser despreciada. Si consideramos la clásica ecuación de energía $E$, que incluye la energía cinética, la energía potencial gravitacional y una fuerza externa que desplaza el líquido una distancia $\Delta z$, podemos expresarla de la siguiente manera:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Si consideramos la energía en un volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos reemplazar la masa por:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Y como la presión se expresa como:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtenemos la ecuación de densidad de energía:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

que corresponde a la ecuación de Bernoulli.

En ausencia de viscosidad, la conservación de energía implica que la densidad de energía ($e$) es constante en cualquier punto del fluido. Por lo tanto, conocer la velocidad y/o la presión en cualquier lugar del fluido es suficiente para establecer una relación entre la velocidad y la presión en cualquier punto del fluido.

ID:(3159, 1)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si la energía se conserva dentro de los volúmenes que fluyen con el flujo, entonces la densidad de energía en 1 ($e_1$) y la densidad de energía en 2 ($e_2$) deben ser iguales:

$ e_1 = e_2 $

Condiciones

Variables

$e_1$

Densidad de energía en 1

$J/m^3$

$e_2$

Densidad de energía en 2

$J/m^3$

Relación

Esto solo es posible si la viscosidad es despreciable, ya que esta está asociada a la difusión de energía y no existen torbellinos, los cuales presentan diferencias de energía debido a las velocidades tangenciales variadas a lo largo del radio del vórtice.

ID:(15499, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que un fluido o gas es un continuo, el concepto de energía ya no puede asociarse a una masa específica. Sin embargo, es posible considerar la energía contenida en un volumen del continuo y, al dividirla por el volumen mismo, se obtiene la densidad de energía ($e$). Por lo tanto, con la densidad ($\rho$), la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la altura de la columna ($h$), la aceleración gravitacional ($g$), y la presión de la columna de agua ($p_t$), tenemos:

$ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

$h_2$

Altura o profundidad 2

$m$

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

$e$

$e_2$

Densidad de energía en 2

$J/m^3$

$p$

$p_2$

Presión en la columna 2

$Pa$

$v$

$v_2$

Velocidad media del fluido en el punto 2

$m/s$

Relación

Desarrollo

Otra ecuación útil es la que corresponde a la conservación de energía, que se aplica en casos donde la viscosidad, un proceso en el cual se pierde energía, puede ser despreciada. Si consideramos la clásica ecuación de energía $E$, que incluye la energía cinética, la energía potencial gravitacional y una fuerza externa que desplaza el líquido una distancia $\Delta z$, podemos expresarla de la siguiente manera:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Si consideramos la energía en un volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos reemplazar la masa por:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Y como la presión se expresa como:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtenemos la ecuación de densidad de energía:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

que corresponde a la ecuación de Bernoulli.

En ausencia de viscosidad, la conservación de energía implica que la densidad de energía ($e$) es constante en cualquier punto del fluido. Por lo tanto, conocer la velocidad y/o la presión en cualquier lugar del fluido es suficiente para establecer una relación entre la velocidad y la presión en cualquier punto del fluido.

ID:(3159, 2)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que un fluido o gas es un continuo, el concepto de energía ya no puede asociarse a una masa específica. Sin embargo, es posible considerar la energía contenida en un volumen del continuo y, al dividirla por el volumen mismo, se obtiene la densidad de energía ($e$). Por lo tanto, con la densidad ($\rho$), la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la altura de la columna ($h$), la aceleración gravitacional ($g$), y la presión de la columna de agua ($p_t$), tenemos:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

Altura de la columna

$m$

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

$e$

Densidad de energía

$J/m^3$

$p$

Presión de la columna de agua

$Pa$

$v$

Velocidad en un radio del cilindro

$m/s$

Relación

Desarrollo

Otra ecuación útil es la que corresponde a la conservación de energía, que se aplica en casos donde la viscosidad, un proceso en el cual se pierde energía, puede ser despreciada. Si consideramos la clásica ecuación de energía $E$, que incluye la energía cinética, la energía potencial gravitacional y una fuerza externa que desplaza el líquido una distancia $\Delta z$, podemos expresarla de la siguiente manera:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Si consideramos la energía en un volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos reemplazar la masa por:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Y como la presión se expresa como:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtenemos la ecuación de densidad de energía:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

que corresponde a la ecuación de Bernoulli.

En ausencia de viscosidad, la conservación de energía implica que la densidad de energía ($e$) es constante en cualquier punto del fluido. Por lo tanto, conocer la velocidad y/o la presión en cualquier lugar del fluido es suficiente para establecer una relación entre la velocidad y la presión en cualquier punto del fluido.

ID:(3159, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si la energía se conserva y el medio fluye sin deformarse, se cumple que la densidad entre dos puntos debe ser igual, lo que es la premisa que lleva a la ley de Bernoulli.

Como la densidad de energía se calcula en un punto 1 y 2 de:
• la densidad de energía cientica depende de la densidad del líquido ($\rho_w$) y en el punto 1 de la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y en el punto 2 de la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$)
• la densidad de energía potencial gravitacional de la aceleración gravitacional ($g$) y en el punto 1 de la altura o profundidad 1 ($h_1$) y la altura o profundidad 2 ($h_2$)
• la densidad de energía potencial en general que corresponde en el punto 1 a la presión en la columna 1 ($p_1$) y la presión en la columna 2 ($p_2$)
se tiene la relación

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h_1$

Altura o profundidad 1

$m$

$h_2$

Altura o profundidad 2

$m$

$\rho$

Densidad del líquido

$kg/m^3$

$p_1$

Presión en la columna 1

$Pa$

$p_2$

Presión en la columna 2

$Pa$

$v_1$

Velocidad media del fluido en el punto 1

$m/s$

$v_2$

Velocidad media del fluido en el punto 2

$m/s$

Relación

Desarrollo

Si asumimos que la densidad de energía se conserva, podemos afirmar que para una celda en la que la velocidad media es v, la densidad es \rho, la presión es p, la altura es h y la aceleración gravitacional es g, se cumple lo siguiente:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

En un punto 1, esta ecuación será igual a la misma ecuación en un punto 2:

$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$

donde v_1, h_1 y p_1 representan la velocidad, altura y presión en el punto 1, respectivamente, y v_2, h_2 y p_2 representan la velocidad, altura y presión en el punto 2, respectivamente. Por lo tanto, se tiene:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

Es importante tener en cuenta que se han hecho las siguientes suposiciones:

Se conserva la energía, en particular, se supone la ausencia de viscosidad.

No hay deformación en el medio, por lo tanto, la densidad no varía.

No hay vorticidad, es decir, no hay torbellinos que generen circulación en el medio. El fluido debe presentar un comportamiento laminar.

ID:(4504, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Cuando se conectan dos columnas de líquido con la altura de columna de líquido 1 ($h_1$) y la altura de columna de líquido 2 ($h_2$), se crea una la diferencia de altura ($\Delta h$) que se calcula de acuerdo con la siguiente fórmula:

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

Condiciones

Variables

$h_1$

Altura o profundidad 1

$m$

$h_2$

Altura o profundidad 2

$m$

$\Delta h$

Diferencia de altura o profundidad

$m$

Relación

la diferencia de altura ($\Delta h$) generará la diferencia de presiones que desplazará el líquido de la columna más alta hacia la columna más baja.

ID:(4251, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Cuando se conectan dos columnas de líquido con la presión en la columna 1 ($p_1$) y la presión en la columna 2 ($p_2$), se crea una la diferencia de presión ($\Delta p$) que se calcula mediante la siguiente fórmula:

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

Condiciones

Variables

$\Delta p$

Diferencial de la presión

$Pa$

$p_1$

Presión en la columna 1

$Pa$

$p_2$

Presión en la columna 2

$Pa$

Relación

la diferencia de presión ($\Delta p$) representa la diferencia de presiones que desplazará el líquido de la columna más alta hacia la columna más baja.

ID:(4252, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La sección ($S$) de un disco de un radio de la forma geométrica ($r$) se calcula de la siguiente manera:

$ S_1 = \pi r_1 ^2$

$ S = \pi r ^2$

Condiciones

Variables

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$r$

$r_1$

Radio de la sección 1

$m$

$S$

$S_1$

Sección en el punto 1

$m^2$

Relación

ID:(3804, 1)

Ecuación

>Top, >Modelo

La sección ($S$) de un disco de un radio de la forma geométrica ($r$) se calcula de la siguiente manera:

$ v_{max} = \pi r_2 ^2$

$ S = \pi r ^2$

Condiciones

Variables

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$r$

$r_2$

Radio de la sección 2

$m$

$S$

$v_{max}$

Velocidad máxima en el flujo por un cilindro

$m^2$

Relación

ID:(3804, 2)

Ecuación

>Top, >Modelo

La diferencia de alturas, representada por la diferencia de altura ($\Delta h$), implica que la presión en ambas columnas es diferente. En particular, la diferencia de presión ($\Delta p$) es una función de la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la diferencia de altura ($\Delta h$), de la siguiente manera:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$\rho_w$

Densidad del líquido

$kg/m^3$

$\Delta h$

Diferencia de altura o profundidad

$m$

$\Delta p$

Diferencial de la presión

$Pa$

Relación

Desarrollo

If there is la diferencia de presión ($\Delta p$) between two points, as given by the equation:

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

we can use la presión de la columna de agua ($p_t$), which is:

$ p = p_0 + \rho_w g h $

This yields:

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Since la diferencia de altura ($\Delta h$) is:

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

la diferencia de presión ($\Delta p$) can be expressed as:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

ID:(4345, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La continuidad lleva a que los flujos en dos puntos del tubo son iguales

y con la densidad de flujo 1 ($j_{s1}$) y la densidad de flujo 2 ($j_{s2}$) se puede escribir la misma ecuación en función de la sección en el punto 1 ($S_1$) y la velocidad máxima en el flujo por un cilindro ($v_{max}$):

$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $

Condiciones

Variables

$j_{s1}$

Densidad de flujo 1

$m^3/s$

$j_{s2}$

Densidad de flujo 2

$m^3/s$

$S_1$

Sección en el punto 1

$m^2$

$S_2$

Sección en el punto 2

$m^2$

Relación

Desarrollo

La continuidad implica que el flujo de volumen 1 ($J_{V1}$) y el flujo de volumen 2 ($J_{V2}$) son iguales

$ J_{V1} = J_{V2} $

lleva a que la densidad de flujo 1 ($j_{s1}$) por la sección en el punto 1 ($S_1$)



y a que la densidad de flujo 2 ($j_{s2}$) por la velocidad máxima en el flujo por un cilindro ($v_{max}$)



se obtiene que

$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $

ID:(4350, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Para el caso de un líquido no viscoso que fluye en forma laminar, la diferencia de presión generada por la columna es:

lo que da lugar a un flujo de velocidad $v$ a través de un tubo según el principio de Bernoulli:

Dada la velocidad y el radio del tubo, podemos calcular el flujo, que se relaciona con el flujo dentro de la columna mediante la ley de continuidad. A su vez, esto se relaciona con la variación de la altura $h$, como se describe en:

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

Altura de la columna

$m$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$R$

Radio del cilindro

$m$

$S$

Sección del tubo

$m^2$

$t$

Tiempo

$s$

Relación

Desarrollo

A partir de la ecuación de Bernoulli, podemos analizar el caso de una columna de agua que genera una diferencia de presión:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

y provoca un flujo de velocidad $v$ a través de un tubo, de acuerdo con:

$ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $

Por lo tanto, podemos estimar la velocidad como:

$v = \sqrt{2 g h}$

Esta velocidad, a través de una sección de tubo de radio $R$, genera un flujo:

$J = \pi R^2 v$

Si la columna tiene una sección $S$ y su altura disminuye con respecto a la variación de la altura $h$ en el tiempo $t$, podemos aplicar la ley de continuidad, que establece:

$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $

Entonces, la ecuación que describe esta situación es:

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

ID:(9882, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si observamos la ecuación para el vaciado de una columna de líquido no viscoso:

podemos condensar las constantes en una unidad de tiempo característica:

$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h_0$

Altura inicial de columna de líquido

$m$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$R$

Radio del cilindro

$m$

$S$

Sección del tubo

$m^2$

$\tau_b$

Tiempo característico columna con Bernoulli

$s$

Relación

Este valor se convierte en el tiempo en el que la columna se vacía por completo y depende de la altura inicial.

ID:(14523, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La ecuación que describe la evolución de la columna de líquido viscoso que se está drenando es la siguiente:

Podemos reescribir esta ecuación en términos del tiempo característico:

Luego, al realizar la integración, obtenemos:

$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$

Condiciones

Variables

$h$

Altura de la columna

$m$

$h_0$

Altura inicial de columna de líquido

$m$

$t$

Tiempo

$s$

$\tau_b$

Tiempo característico columna con Bernoulli

$s$

Relación

Desarrollo

Si en la ecuación

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

se reemplazan las constantes mediante

$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$

obtenemos la ecuación diferencial lineal de primer orden

$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_b} \sqrt{h_0 h}$

cuya solución es

$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$

Donde $h_0$ representa la altura inicial.

ID:(14524, 0)