In der Flüssigkeitssäule
Storyboard
Im Fall einer Flüssigkeitssäule kann das Bernoulli-Gesetz zusammen mit dem hydrostatischen Druckterm angewendet werden. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass bei Nichtberücksichtigung der Viskosität des Fluids die Reduzierung des Niveaus gleichmäßig erfolgt. In diesem Zusammenhang kann es mit der Kontinuitätsgleichung modelliert werden, um die Abwärtsgeschwindigkeit des Zylinders zu bestimmen.
Für eine Flüssigkeitssäule mit einem Auslass am Boden zeigt das Verhalten Ähnlichkeiten mit dem, was mit dem Bernoulli-Prinzip geschätzt wird. Unterschiede ergeben sich durch die Bildung kleiner Wirbel am Auslass, die effektiv den Auslassbereich verringern und den Fluss behindern. Der Fluss einer Flüssigkeit mit geringer Viskosität kann jedoch in der Zone ohne Wirbel mit dem Bernoulli-Prinzip modelliert werden.
ID:(1427, 0)
Mechanismen
Konzept
Mechanismen
ID:(15487, 0)
Statischer und dynamischer Druck
Beschreibung
Wenn vier Säulen mit unterschiedlichen Querschnitten miteinander verbunden sind, nimmt die Flüssigkeit in allen Säulen das gleiche Niveau an. Wenn der verbindende Kanal geöffnet wird, beginnt die Flüssigkeit in Richtung der Öffnung zu fließen, wo der Druck dem Umgebungsdruck entspricht. In der ersten Säule ist der Druck gleich dem Druck der Wassersäule plus dem atmosphärischen Druck, daher ist die Differenz zum Druck am Ausgang der Druck der ersten Säule. Die Flüssigkeit beginnt an Geschwindigkeit zu gewinnen, während der dynamische Druck abnimmt, was sich in den immer kleiner werdenden Säulen zeigt.
ID:(11092, 0)
Experiment zum entleeren von Säulen
Beschreibung
Dies bedeutet, dass sich mit dem Abnehmen der Säule und der Verringerung der Höhe $h$ auch die Geschwindigkeit $v$ proportional verringert.
Die Schlüsselparameter sind:
• Innen-Durchmesser des Gefäßes: 93 mm
• Innen-Durchmesser des Evakuierungskanals: 3 mm
• Länge des Evakuierungskanals: 18 mm
Diese Parameter sind wichtig, um den Prozess des Säulenentleerens zu verstehen und zu analysieren, sowie wie sich die Austrittsgeschwindigkeit mit der Höhe ändert.
ID:(9870, 0)
Modell
Konzept
Variablen
Parameter
Ausgewählter Parameter
Berechnungen
Gleichung
$ \Delta h = h_2 - h_1 $
Dh = h_2 - h_1
$ \Delta p = p_2 - p_1 $
Dp = p_2 - p_1
$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $
Dp = rho_w * g * Dh
$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $
e = rho * v ^ 2 / 2 + rho * g * h + p
$ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p $
e = rho * v ^ 2 / 2 + rho * g * h + p
$ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p $
e = rho * v ^ 2 / 2 + rho * g * h + p
$ e_1 = e_2 $
e_1 = e_2
$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$
h = h_0 *(1-t/tau_b)^2
$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $
rho * v_1 ^2/2+ rho * g * h_1 + p_1 = rho * v_2 ^2/2+ rho * g * h_2 + p_2
$ S_1 = \pi r_1 ^2$
S = pi * r ^2
$ v_{max} = \pi r_2 ^2$
S = pi * r ^2
$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$
S*DIFF(h,t,1) = pi * R ^2*sqrt(2* g * h )
$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $
S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2
$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$
tau_b = (S /( pi * R ^2))*sqrt(h_0/g)
ID:(15490, 0)
Energie Dichte (1)
Gleichung
Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch möglich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p_t$):
$ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 $ |
$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Eine weitere nützliche Gleichung ist diejenige, die der Energieerhaltung entspricht und in Fällen angewendet wird, in denen die Viskosität vernachlässigt werden kann, da sie einen Prozess darstellt, bei dem Energie verloren geht. Wenn wir die klassische Energiegleichung $E$ betrachten, die die kinetische Energie, die potenzielle Gravitationsenergie und eine äußere Kraft, die die Flüssigkeit über eine Strecke $\Delta z$ verschiebt, berücksichtigt, kann sie wie folgt ausgedrückt werden:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Wenn wir die Energie innerhalb eines Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, können wir die Masse ersetzen durch:
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Und da der Druck gegeben ist durch:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
erhalten wir die Gleichung für die Energiedichte:
$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
was der Bernoulli-Gleichung entspricht.
In Abwesenheit von Viskosität impliziert die Erhaltung der Energie, dass die Energiedichte ($e$) an jedem Punkt des Fluids konstant ist. Daher reicht es aus, die Geschwindigkeit und/oder den Druck an jeder Stelle des Fluids zu kennen, um eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck an jedem Punkt des Fluids herzustellen.
ID:(3159, 1)
Erhaltung der Energiedichte
Gleichung
Wenn die Energie innerhalb der strömenden Volumina erhalten bleibt, müssen die Energiedichte in 1 ($e_1$) und die Energiedichte in 2 ($e_2$) gleich sein:
$ e_1 = e_2 $ |
Dies ist nur möglich, wenn die Viskosität vernachlässigbar ist, da sie mit der Energieverteilung verbunden ist und keine Wirbel vorhanden sind, die selbst aufgrund unterschiedlicher tangentialer Geschwindigkeiten entlang des Wirbels einen Energieunterschied aufweisen.
ID:(15499, 0)
Energie Dichte (2)
Gleichung
Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch möglich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p_t$):
$ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Eine weitere nützliche Gleichung ist diejenige, die der Energieerhaltung entspricht und in Fällen angewendet wird, in denen die Viskosität vernachlässigt werden kann, da sie einen Prozess darstellt, bei dem Energie verloren geht. Wenn wir die klassische Energiegleichung $E$ betrachten, die die kinetische Energie, die potenzielle Gravitationsenergie und eine äußere Kraft, die die Flüssigkeit über eine Strecke $\Delta z$ verschiebt, berücksichtigt, kann sie wie folgt ausgedrückt werden:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Wenn wir die Energie innerhalb eines Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, können wir die Masse ersetzen durch:
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Und da der Druck gegeben ist durch:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
erhalten wir die Gleichung für die Energiedichte:
$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
was der Bernoulli-Gleichung entspricht.
In Abwesenheit von Viskosität impliziert die Erhaltung der Energie, dass die Energiedichte ($e$) an jedem Punkt des Fluids konstant ist. Daher reicht es aus, die Geschwindigkeit und/oder den Druck an jeder Stelle des Fluids zu kennen, um eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck an jedem Punkt des Fluids herzustellen.
ID:(3159, 2)
Energie Dichte
Gleichung
Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch möglich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p_t$):
$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Eine weitere nützliche Gleichung ist diejenige, die der Energieerhaltung entspricht und in Fällen angewendet wird, in denen die Viskosität vernachlässigt werden kann, da sie einen Prozess darstellt, bei dem Energie verloren geht. Wenn wir die klassische Energiegleichung $E$ betrachten, die die kinetische Energie, die potenzielle Gravitationsenergie und eine äußere Kraft, die die Flüssigkeit über eine Strecke $\Delta z$ verschiebt, berücksichtigt, kann sie wie folgt ausgedrückt werden:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Wenn wir die Energie innerhalb eines Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, können wir die Masse ersetzen durch:
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Und da der Druck gegeben ist durch:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
erhalten wir die Gleichung für die Energiedichte:
$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
was der Bernoulli-Gleichung entspricht.
In Abwesenheit von Viskosität impliziert die Erhaltung der Energie, dass die Energiedichte ($e$) an jedem Punkt des Fluids konstant ist. Daher reicht es aus, die Geschwindigkeit und/oder den Druck an jeder Stelle des Fluids zu kennen, um eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck an jedem Punkt des Fluids herzustellen.
ID:(3159, 0)
Allgemeine Bernoulli-Gleichung
Gleichung
Wenn die Energie erhalten bleibt und das Medium ohne Verformung fließt, ergibt sich, dass die Dichte zwischen zwei Punkten gleich sein muss. Dadurch erhalten wir die bekannte Bernoulli-Gleichung:
$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
Wenn wir annehmen, dass die Energie-Dichte erhalten bleibt, gilt für eine Zelle, in der die Durchschnittsgeschwindigkeit
$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
An Punkt 1 wird diese Gleichung der Gleichung an Punkt 2 entsprechen:
$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$
wobei
$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
Es ist wichtig, folgende Annahmen zu beachten:
Die Energie bleibt erhalten, insbesondere wird die Abwesenheit von Viskosität angenommen.
Es gibt keine Verformung des Mediums, wodurch die Dichte konstant bleibt.
Es gibt keine Wirbelbildung (Vortizität), das heißt, es gibt keine Strudelbewegungen, die zu Zirkulation im Medium führen. Die Flüssigkeit muss ein laminarisches Verhalten aufweisen.
ID:(4504, 0)
Höhenunterschied
Gleichung
Wenn zwei Flüssigkeitssäulen mit die Höhe der Flüssigkeitssäule 1 ($h_1$) und die Höhe der Flüssigkeitssäule 2 ($h_2$) verbunden werden, entsteht eine die Höhendifferenz ($\Delta h$), die wie folgt berechnet wird:
$ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
die Höhendifferenz ($\Delta h$) erzeugt den Druckunterschied, der die Flüssigkeit von der höheren Säule zur niedrigeren Säule strömen lässt.
ID:(4251, 0)
Pressure Difference
Gleichung
Wenn zwei Flüssigkeitssäulen mit die Druck in Spalte 1 ($p_1$) und die Druck in Spalte 2 ($p_2$) verbunden werden, entsteht eine die Druckunterschied ($\Delta p$), die nach folgender Formel berechnet wird:
$ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
die Druckunterschied ($\Delta p$) repräsentiert den Druckunterschied, der dazu führt, dass die Flüssigkeit von der höheren Säule zur niedrigeren fließt.
ID:(4252, 0)
Oberfläche einer Scheibe (1)
Gleichung
Die Fläche die Abschnitt ($S$) eines Kreisscheibendurchmessers von ein Radius eines Kreises ($r$) wird wie folgt berechnet:
$ S_1 = \pi r_1 ^2$ |
$ S = \pi r ^2$ |
ID:(3804, 1)
Oberfläche einer Scheibe (2)
Gleichung
Die Fläche die Abschnitt ($S$) eines Kreisscheibendurchmessers von ein Radius eines Kreises ($r$) wird wie folgt berechnet:
$ v_{max} = \pi r_2 ^2$ |
$ S = \pi r ^2$ |
ID:(3804, 2)
Druckunterschied zwischen Säulen
Gleichung
Der Höhenunterschied, dargestellt durch die Höhendifferenz ($\Delta h$), bedeutet, dass der Druck in beiden Säulen unterschiedlich ist. Insbesondere ist die Druckunterschied ($\Delta p$) eine Funktion von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhendifferenz ($\Delta h$), wie folgt:
$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Wenn zwischen zwei Punkten die Druckunterschied ($\Delta p$) existiert, wie durch die Gleichung bestimmt:
$ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
können wir die Druck der Wassersäule ($p_t$) verwenden, definiert als:
$ p = p_0 + \rho_w g h $ |
Dies ergibt:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Da die Höhendifferenz ($\Delta h$) wie folgt definiert ist:
$ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
kann die Druckunterschied ($\Delta p$) wie folgt ausgedrückt werden:
$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
ID:(4345, 0)
Kontinuität nach Abschnitten
Gleichung
Kontinuität
$ J_{V1} = J_{V2} $ |
führt dazu, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit pro Abschnitt multipliziert mit dem Abschnitt
$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
konstant ist. Wenn daher das Produkt in den Punkten 1 und 2 verglichen wird, wird das erhalten
$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $ |
ID:(4350, 0)
Höhe der nichtviskosen Flüssigkeitssäule im Zeitverlauf
Gleichung
Für den Fall eines nicht viskosen Flüssigkeitsstroms im laminaren Zustand wird der Druckunterschied, der von der Säule erzeugt wird, durch folgende Gleichung beschrieben:
$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Dies führt zu einem Geschwindigkeitsfluss $v$ durch ein Rohr gemäß dem Bernoulli-Prinzip:
$ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Unter Berücksichtigung der Geschwindigkeit und des Radius des Rohrs können wir den Fluss berechnen, der durch das Gesetz der Kontinuität mit dem Fluss innerhalb der Säule in Beziehung steht. Dies wiederum ist mit der Änderung der Höhe $h$ verbunden, wie im folgenden beschrieben:
$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
Mit Hilfe der Bernoulli-Gleichung können wir den Fall einer Wassersäule analysieren, die einen Druckunterschied erzeugt:
$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
und einen Geschwindigkeitsfluss $v$ durch ein Rohr verursacht, gemäß:
$ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Daher können wir die Geschwindigkeit wie folgt schätzen:
$v = \sqrt{2 g h}$
Diese Geschwindigkeit, durch einen Rohrabchnitt mit Radius $R$, führt zu einem Fluss:
$J = \pi R^2 v$
Wenn die Säule einen Querschnittsbereich $S$ hat und ihre Höhe im Vergleich zur Variation der Höhe $h$ im Laufe der Zeit $t$ abnimmt, können wir das Kontinuitätsgesetz anwenden, das besagt:
$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $ |
Daher ist die Gleichung, die diese Situation beschreibt:
$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
ID:(9882, 0)
Säulencharakteristische Zeit mit nicht viskoser Flüssigkeit
Gleichung
Wenn wir die Gleichung für das Entleeren einer nicht viskosen Flüssigkeitssäule betrachten:
$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
können wir die Konstanten in eine charakteristische Zeit-Einheit zusammenfassen:
$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$ |
Dieser Wert stellt die Zeit dar, die benötigt wird, um die Säule vollständig zu entleeren, und hängt von der anfänglichen Höhe ab.
ID:(14523, 0)
Zeitliche Entwicklung der Säule aus nicht viskoser Flüssigkeit
Gleichung
Die Gleichung, die die Entwicklung der abfließenden viskosen Flüssigkeitssäule beschreibt, lautet:
$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
Wir können diese Gleichung in Bezug auf die charakteristische Zeit umschreiben:
$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$ |
Nach der Integration erhalten wir:
$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$ |
Wenn in der Gleichung
$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
die Konstanten durch
$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$ |
ersetzt werden, erhalten wir die lineare Differentialgleichung erster Ordnung
$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_b} \sqrt{h_0 h}$
deren Lösung lautet
$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$ |
Dabei repräsentiert $h_0$ die anfängliche Höhe.
ID:(14524, 0)