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Bernoulli sin presión hidrostatica
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En el caso de que el flujo ocurra en un gas o en una situación en la que las variaciones de la altura sean mínimas, se puede despreciar el efecto de la presión hidrostática.
Sin la presión hidrostática, la ley de Bernoulli se reduce a que la suma de un término asociado a la energía cinética, y por ende a la velocidad al cuadrado, y la presión que existe en cada lugar, se mantiene constante. Esto significa que si la velocidad aumenta, la presión disminuye, y viceversa.
ID:(2066, 0)
Ley de Bernoulli, sin presión hidrostatica
Imagen
Si la energía se conserva y el medio fluye sin deformarse, se cumple que la densidad entre dos puntos debe ser igual, lo que es la premisa que lleva a la ley de Bernoulli.
En el caso de la ley de Bernoulli [1] para el caso que no exista presión hidrostatica se tiene que con la densidad ($\rho$), la presión en la columna 1 ($p_1$), la presión en la columna 2 ($p_2$), la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$):
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
La ecuación de Bernoulli asume que se conserva la densidad de energía, lo que implica la ausencia de viscosidad y turbulencia, por lo que su aplicación en este caso es limitada.
La ecuación de Bernoulli puede ser utilizada como base para modelar el proceso, pero debe ser complementada con un modelo que considere la posibilidad de incluir el efecto de la turbulencia.
[1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738)
ID:(15503, 0)
Tubo de Venturi
Nota
El tubo de Venturi consta de una sección más estrecha y dos tubos verticales para medir la presión. Cuando el líquido circula por el tubo, se observa que las columnas en la parte de mayor sección son más altas, mientras que en la parte de menor sección, la columna es más baja. Esto indica que en la sección más estrecha, la velocidad del líquido es mayor, lo que genera una menor presión dinámica.
La situación se puede analizar y calcular utilizando la ecuación general de Bernoulli. En este modelo, la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la presión en la columna 1 ($p_1$) corresponden a la velocidad, la altura y la presión en el punto 1, respectivamente. Del mismo modo, la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$) y la presión en la columna 2 ($p_2$) representan la velocidad, la altura y la presión en el punto 2. La relación se expresa de la siguiente manera:
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
Los tubos verticales permiten medir en cada sección la presión existente, ya que la altura a la que sale el líquido corresponderá a la presión hidrostática en esa sección específica. Con la aceleración gravitacional ($g$), esto se medirá en el primer punto con la altura o profundidad 1 ($h_1$) y la presión en la columna 1 ($p_1$):
| $ p = \rho_w g h $ |
y en el segundo punto con la altura o profundidad 2 ($h_2$) y la presión en la columna 2 ($p_2$):
| $ p = \rho_w g h $ |
ID:(11093, 0)
Diferencia de presión
Cita
Para el caso de que no exista presión histrostatica la ley de Bernoulli para la densidad ($\rho$), la presión en la columna 1 ($p_1$), la presión en la columna 2 ($p_2$), la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$)
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
se puede reescribir con el diferencial de la presión ($\Delta p$)
| $ dp = p - p_0 $ |
y teniendo presente de que
$v_2^2 - v_1^2 = \displaystyle\frac{1}{2}(v_2-v_1)(v_1+v_2)$
con
| $ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$ |
y
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
se tiene que
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
ID:(15709, 0)
Rebasar y cruce de vehículos en carretera
Ejercicio
Cuando se adelanta a un automóvil en la carretera, se crea una situación en la que se genera un flujo de aire de mayor velocidad entre los dos vehículos, lo que implica que en esa zona la presión será menor. Como resultado, la presión en los lados exteriores de los automóviles hará que se atraigan mutuamente.
Cuando los vehículos se cruzan, la velocidad relativa entre ellos disminuirá y se acercará al reposo, generando una mayor presión entre ellos que tenderá a alejar los vehículos el uno del otro.
Lo mismo ocurre cuando dos barcos se cruzan. Si el cruce se produce en un canal angosto, ambos timoneles deberán dirigir sus naves hacia el lado opuesto para evitar que la fuerza repulsiva provoque un choque con el borde del canal.
Para explicar por qué ocurre esto, se puede aplicar la ecuación de el diferencial de la presión ($\Delta p$) con la velocidad promedio ($\bar{v}$) y la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) con la densidad ($\rho$) mediante
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Por lo tanto, se observa que si hay un gradiente en la velocidad, este es inverso al de la presión. Si uno aumenta, el otro disminuye, lo que explica que al rebasar los autos presenten una mayor velocidad entre ellos, lo que lleva a una reducción de la presión entre ambos, succionándolos mutuamente. A la inversa, si se cruzan, la velocidad entre ambos es aproximadamente nula, lo que genera un gradiente de presión que los aleja mutuamente.
ID:(11094, 0)
Velocidad respecto del reposo
Ecuación
En este caso, se puede asumir que la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$) representa una velocidad nula y la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) equivale a la velocidad del flujo ($v_s$), por lo que
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
para la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) se obtiene:
$\Delta v = v_2 - v_1 = 0 - v_s = - v_s$
y para la velocidad promedio ($\bar{v}$)
| $ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$ |
se calcula:
$\bar{v} = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2} = \displaystyle\frac{v_s}{2}$
Consecuentemente, con el diferencial de la presión ($\Delta p$), que es equivalente a la diferencia de presión ($\Delta p_s$), se obtiene:
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
resultando en:
$\Delta p_s = \displaystyle\frac{1}{2} \rho v_s^2$
lo que conduce a:
| $ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$ |
ID:(15711, 0)
Tubo de Pitot
Script
Los aviones determinan la velocidad utilizando el llamado tubo de Pitot. Este tubo consta de dos orificios, uno en el frente (borde de ataque) y el otro en uno de los lados. En el borde de ataque, la velocidad es nula, mientras que en el lateral se registra la velocidad a la que el avión avanza con respecto al medio. En las aberturas del tubo, se encuentran dos conductos que contienen un líquido para medir la diferencia de presión entre ambos puntos. Utilizando la ecuación de Bernoulli, es posible calcular la velocidad del avión a partir de la diferencia de presión y la densidad del líquido.
El funcionamiento del tubo de Pitot se modela el diferencial de la presión ($\Delta p$) con la velocidad promedio ($\bar{v}$) y la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) con la densidad ($\rho$) mediante
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
En particular, la velocidad en la punta del tubo de Pitot es nula, lo que reduce la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) a la velocidad en el orificio lateral ($\Delta v = v$), mientras que la velocidad promedio ($\bar{v}$) corresponde a la mitad de esa velocidad ($\bar{v} = v/2$). Dado que la velocidad del flujo ($v_s$) representa la velocidad del avión, esta se puede determinar midiendo la diferencia de presión ($\Delta p_s$) mediante la siguiente ecuación:
| $ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$ |
Es importante tener en cuenta que esta ecuación requiere la densidad, que varía con la altura a la que vuela el avión.
ID:(11095, 0)
Bernoulli sin presión hidrostatica
Descripción
En el caso de que el flujo ocurra en un gas o en una situación en la que las variaciones de la altura sean mínimas, se puede despreciar el efecto de la presión hidrostática. Sin la presión hidrostática, la ley de Bernoulli se reduce a que la suma de un término asociado a la energía cinética, y por ende a la velocidad al cuadrado, y la presión que existe en cada lugar, se mantiene constante. Esto significa que si la velocidad aumenta, la presión disminuye, y viceversa.
Variables
Cálculos
a 
,
luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Variable
Dado
Calcule
Objetivo :
Ecuación
A utilizar
Ecuaciones
(ID 4252)
Para el caso de que no exista presi n histrostatica la ley de Bernoulli para la densidad ($\rho$), la presión en la columna 1 ($p_1$), la presión en la columna 2 ($p_2$), la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$)
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
se puede reescribir con el diferencial de la presión ($\Delta p$)
| $ dp = p - p_0 $ |
y teniendo presente de que
$v_2^2 - v_1^2 = \displaystyle\frac{1}{2}(v_2-v_1)(v_1+v_2)$
con
| $ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$ |
y
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
se tiene que
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
(ID 4835)
Otra ecuaci n til es la que corresponde a la conservaci n de energ a, que se aplica en casos donde la viscosidad, un proceso en el cual se pierde energ a, puede ser despreciada. Si consideramos la cl sica ecuaci n de energ a $E$, que incluye la energ a cin tica, la energ a potencial gravitacional y una fuerza externa que desplaza el l quido una distancia $\Delta z$, podemos expresarla de la siguiente manera:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si consideramos la energ a en un volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos reemplazar la masa por:
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Y como la presi n se expresa como:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
Obtenemos la ecuaci n de densidad de energ a:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ p $ |
(ID 15496)
Otra ecuaci n til es la que corresponde a la conservaci n de energ a, que se aplica en casos donde la viscosidad, un proceso en el cual se pierde energ a, puede ser despreciada. Si consideramos la cl sica ecuaci n de energ a $E$, que incluye la energ a cin tica, la energ a potencial gravitacional y una fuerza externa que desplaza el l quido una distancia $\Delta z$, podemos expresarla de la siguiente manera:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si consideramos la energ a en un volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos reemplazar la masa por:
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Y como la presi n se expresa como:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
Obtenemos la ecuaci n de densidad de energ a:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ p $ |
(ID 15496)
(ID 15499)
(ID 15502)
Ejemplos
(ID 15497)
Si la energ a se conserva y el medio fluye sin deformarse, se cumple que la densidad entre dos puntos debe ser igual, lo que es la premisa que lleva a la ley de Bernoulli.
En el caso de la ley de Bernoulli [1] para el caso que no exista presi n hidrostatica se tiene que con la densidad ($\rho$), la presión en la columna 1 ($p_1$), la presión en la columna 2 ($p_2$), la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$):
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
La ecuaci n de Bernoulli asume que se conserva la densidad de energ a, lo que implica la ausencia de viscosidad y turbulencia, por lo que su aplicaci n en este caso es limitada.
La ecuaci n de Bernoulli puede ser utilizada como base para modelar el proceso, pero debe ser complementada con un modelo que considere la posibilidad de incluir el efecto de la turbulencia.
[1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738)
(ID 15503)
El tubo de Venturi consta de una secci n m s estrecha y dos tubos verticales para medir la presi n. Cuando el l quido circula por el tubo, se observa que las columnas en la parte de mayor secci n son m s altas, mientras que en la parte de menor secci n, la columna es m s baja. Esto indica que en la secci n m s estrecha, la velocidad del l quido es mayor, lo que genera una menor presi n din mica.
La situaci n se puede analizar y calcular utilizando la ecuaci n general de Bernoulli. En este modelo, la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la presión en la columna 1 ($p_1$) corresponden a la velocidad, la altura y la presi n en el punto 1, respectivamente. Del mismo modo, la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$) y la presión en la columna 2 ($p_2$) representan la velocidad, la altura y la presi n en el punto 2. La relaci n se expresa de la siguiente manera:
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
Los tubos verticales permiten medir en cada secci n la presi n existente, ya que la altura a la que sale el l quido corresponder a la presi n hidrost tica en esa secci n espec fica. Con la aceleración gravitacional ($g$), esto se medir en el primer punto con la altura o profundidad 1 ($h_1$) y la presión en la columna 1 ($p_1$):
| $ p = \rho_w g h $ |
y en el segundo punto con la altura o profundidad 2 ($h_2$) y la presión en la columna 2 ($p_2$):
| $ p = \rho_w g h $ |
(ID 11093)
Para el caso de que no exista presi n histrostatica la ley de Bernoulli para la densidad ($\rho$), la presión en la columna 1 ($p_1$), la presión en la columna 2 ($p_2$), la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$)
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
se puede reescribir con el diferencial de la presión ($\Delta p$)
| $ dp = p - p_0 $ |
y teniendo presente de que
$v_2^2 - v_1^2 = \displaystyle\frac{1}{2}(v_2-v_1)(v_1+v_2)$
con
| $ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$ |
y
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
se tiene que
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
(ID 15709)
Cuando se adelanta a un autom vil en la carretera, se crea una situaci n en la que se genera un flujo de aire de mayor velocidad entre los dos veh culos, lo que implica que en esa zona la presi n ser menor. Como resultado, la presi n en los lados exteriores de los autom viles har que se atraigan mutuamente.
Cuando los veh culos se cruzan, la velocidad relativa entre ellos disminuir y se acercar al reposo, generando una mayor presi n entre ellos que tender a alejar los veh culos el uno del otro.
Lo mismo ocurre cuando dos barcos se cruzan. Si el cruce se produce en un canal angosto, ambos timoneles deber n dirigir sus naves hacia el lado opuesto para evitar que la fuerza repulsiva provoque un choque con el borde del canal.
Para explicar por qu ocurre esto, se puede aplicar la ecuaci n de el diferencial de la presión ($\Delta p$) con la velocidad promedio ($\bar{v}$) y la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) con la densidad ($\rho$) mediante
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Por lo tanto, se observa que si hay un gradiente en la velocidad, este es inverso al de la presi n. Si uno aumenta, el otro disminuye, lo que explica que al rebasar los autos presenten una mayor velocidad entre ellos, lo que lleva a una reducci n de la presi n entre ambos, succion ndolos mutuamente. A la inversa, si se cruzan, la velocidad entre ambos es aproximadamente nula, lo que genera un gradiente de presi n que los aleja mutuamente.
(ID 11094)
En este caso, se puede asumir que la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$) representa una velocidad nula y la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) equivale a la velocidad del flujo ($v_s$), por lo que
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
para la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) se obtiene:
$\Delta v = v_2 - v_1 = 0 - v_s = - v_s$
y para la velocidad promedio ($\bar{v}$)
| $ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$ |
se calcula:
$\bar{v} = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2} = \displaystyle\frac{v_s}{2}$
Consecuentemente, con el diferencial de la presión ($\Delta p$), que es equivalente a la diferencia de presión ($\Delta p_s$), se obtiene:
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
resultando en:
$\Delta p_s = \displaystyle\frac{1}{2} \rho v_s^2$
lo que conduce a:
| $ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$ |
(ID 15711)
Los aviones determinan la velocidad utilizando el llamado tubo de Pitot. Este tubo consta de dos orificios, uno en el frente (borde de ataque) y el otro en uno de los lados. En el borde de ataque, la velocidad es nula, mientras que en el lateral se registra la velocidad a la que el avi n avanza con respecto al medio. En las aberturas del tubo, se encuentran dos conductos que contienen un l quido para medir la diferencia de presi n entre ambos puntos. Utilizando la ecuaci n de Bernoulli, es posible calcular la velocidad del avi n a partir de la diferencia de presi n y la densidad del l quido.
El funcionamiento del tubo de Pitot se modela el diferencial de la presión ($\Delta p$) con la velocidad promedio ($\bar{v}$) y la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) con la densidad ($\rho$) mediante
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
En particular, la velocidad en la punta del tubo de Pitot es nula, lo que reduce la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) a la velocidad en el orificio lateral ($\Delta v = v$), mientras que la velocidad promedio ($\bar{v}$) corresponde a la mitad de esa velocidad ($\bar{v} = v/2$). Dado que la velocidad del flujo ($v_s$) representa la velocidad del avi n, esta se puede determinar midiendo la diferencia de presión ($\Delta p_s$) mediante la siguiente ecuaci n:
| $ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$ |
Es importante tener en cuenta que esta ecuaci n requiere la densidad, que var a con la altura a la que vuela el avi n.
(ID 11095)
(ID 15498)
Si la energ a se conserva dentro de los vol menes que fluyen con el flujo, entonces la densidad de energía en 1 ($e_1$) y la densidad de energía en 2 ($e_2$) deben ser iguales:
| $ e_1 = e_2 $ |
Esto solo es posible si la viscosidad es despreciable, ya que esta est asociada a la difusi n de energ a y no existen torbellinos, los cuales presentan diferencias de energ a debido a las velocidades tangenciales variadas a lo largo del radio del v rtice.
(ID 15499)
Dado que un fluido o gas es un continuo, el concepto de energ a ya no puede asociarse a una masa espec fica. Sin embargo, es posible considerar la energ a contenida en un volumen del continuo y, al dividirla por el volumen mismo, se obtiene la densidad de energía ($e$). Por lo tanto, con la densidad ($\rho$), la velocidad media del fluido ($v$) y la presión de la columna de agua ($p$), tenemos:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ p $ |
que corresponde a la ecuaci n de Bernoulli.
En ausencia de viscosidad, la conservaci n de energ a implica que la densidad de energía ($e$) es constante en cualquier punto del fluido. Por lo tanto, conocer la velocidad y/o la presi n en cualquier lugar del fluido es suficiente para establecer una relaci n entre la velocidad y la presi n en cualquier punto del fluido.
(ID 15496)
Dado que un fluido o gas es un continuo, el concepto de energ a ya no puede asociarse a una masa espec fica. Sin embargo, es posible considerar la energ a contenida en un volumen del continuo y, al dividirla por el volumen mismo, se obtiene la densidad de energía ($e$). Por lo tanto, con la densidad ($\rho$), la velocidad media del fluido ($v$) y la presión de la columna de agua ($p$), tenemos:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ p $ |
que corresponde a la ecuaci n de Bernoulli.
En ausencia de viscosidad, la conservaci n de energ a implica que la densidad de energía ($e$) es constante en cualquier punto del fluido. Por lo tanto, conocer la velocidad y/o la presi n en cualquier lugar del fluido es suficiente para establecer una relaci n entre la velocidad y la presi n en cualquier punto del fluido.
(ID 15496)
En el caso de la ley de Bernoulli para el caso que no exista presi n hidrostatica se tiene que con la densidad ($\rho$), la presión en la columna 1 ($p_1$), la presión en la columna 2 ($p_2$), la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$):
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
(ID 15495)
Cuando se conectan dos columnas de l quido con la presión en la columna 1 ($p_1$) y la presión en la columna 2 ($p_2$), se crea una la diferencia de presión ($\Delta p$) que se calcula mediante la siguiente f rmula:
| $ dp = p - p_0 $ |
la diferencia de presión ($\Delta p$) representa la diferencia de presiones que desplazar el l quido de la columna m s alta hacia la columna m s baja.
(ID 4252)
La velocidad promedio ($\bar{v}$) es con la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$) es
| $ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$ |
(ID 15501)
La diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) es con la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$) es
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
(ID 15502)
El diferencial de la presión ($\Delta p$) se puede calcular de la velocidad promedio ($\bar{v}$) y la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) con la densidad ($\rho$) mediante
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
que permite ver el efecto de la melocidad promedio de un cuerpo y de la diferencia de esta entre sus superficies como se observa en un ala de avion o ave.
(ID 4835)
ID:(2066, 0)