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Convolution

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$y(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}d\tau h(\tau)x(t-\tau)$

y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}d\tau h(\tau)x(t-\tau)

$y(\omega)=H(\omega)x(\omega)$

y(\omega)=H(\omega)x(\omega)

$Y(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}y(t)e^{-i\omega t}dt$

Y(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}y(t)e^{-i\omega t}dt

$H(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}h(t)e^{-i\omega t}dt$

H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)e^{-i\omega t}dt

$m\displaystyle\frac{d^2y}{dt^2}+c\displaystyle\frac{dy}{dt}+ky=k_0x(t)$

m\displaystyle\frac{d^2y}{dt^2}+c\displaystyle\frac{dy}{dt}+ky=k_0x(t)

$\omega_0=\sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}$

\omega_0=\sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}

$\zeta=\displaystyle\frac{c}{2\sqrt{km}}$

\zeta=\displaystyle\frac{c}{2\sqrt{km}}

$|H(\omega)|^2=\displaystyle\frac{1}{k\sqrt{(1-\omega^2/\omega_0^2)^2+4\zeta^2\omega^2/\omega_0^2}}$

|H(\omega)|^2=\displaystyle\frac{1}{k\sqrt{(1-\omega^2/\omega_0^2)^2+4\zeta^2\omega^2/\omega_0^2}}

$\phi(\omega)=\arctan\left(\displaystyle\frac{2\zeta\omega/\omega_0}{1-\omega^2/\omega_0^2}\right)$

\phi(\omega)=\arctan\left(\displaystyle\frac{2\zeta\omega/\omega_0}{1-\omega^2/\omega_0^2}\right)

Ejemplos

Ecuaci n de un Oscilador Arm nico con Amortiguaci n

La ecuaci n diferencial de un oscilador arm nico con amortiguaci n es:

equation

Frecuencia Propia

La frecuencia propia de un oscilador arm nico es igual a la ra z de la proporci n de la constante del resorte y la masa:

equation

Coeficiente de Amortiguaci n

El factor de la amortiguaci n se calcula mediante:

equation

Convoluci n

La convoluci n se define como un integral con una funci n de peso $h$ que se integra en forma desfasada sobre la se al:

equation

Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier de una funci n temporal $y(t)$ es igual a:

equation

Transformada de Fourier de la Funci n de Peso

La funci n de peso $h(t)$ tiene una transformada de Fourier igual a

equation

Transformada de Fourier de una Convoluci n

Si se realiza una transformada de Fourier de una convoluci n se descubre que esta corresponde a una ponderaci n de un espectro $X(\omega)$ por el espectro de la funci n de peso $H(\omega)$:

equation

Soluci n en Forma de Funci n de Peso

Si se realiza una transformadad de Fourier de la ecuaci n del oscilaci n arm nico se obtiene el espectro de la funci n de peso de la forma:

equation

Fase de la Funci n de Peso

La funci n de peso que resuelve la ecuaci n del oscilador arm nico con amortiguaci n incluye un corrimiento de fase de la forma:

equation

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