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Laplacian of potential
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Gauss's law in its differential form can also be written for the electric potential. In this case it turns out that the Laplacian of the electric potential is proportional to the charge density.
ID:(1567, 0)
Laplacian of potential
Description
Gauss's law in its differential form can also be written for the electric potential. In this case it turns out that the Laplacian of the electric potential is proportional to the charge density.
Variables
Calculations
to 
,
then, select the variable: 
to 
Calculations
Variable
Given
Calculate
Target :
Equation
To be used
Equations
Examples
Como el campo el ctrico se puede calcular del potencial el ctrico con el gradiente
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
y la divergencia del campo es proporcional a la densidad de carga
| $\nabla\cdot\vec{E} = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
se puede construir el llamado Laplaciano que es la divergencia de un gradiente. Como el operador nabla es
abla = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+\hat{y}\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}+\hat{z}\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}
el producto punto sera
abla\cdot
abla =\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial z^2}\equiv
abla^2
con lo que la ecuaci n para el potencial el ctrico queda como
| $ \nabla^2 V = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
(ID 11567)
En el caso de que no existan cargas la ley de Gauss diferencial para el potencial electrico
| $ \nabla^2 V = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
se reduce a la llamada ecuaci n de Laplace
| $ \nabla^2 V = 0$ |
Esta ecuaci n tiene como soluci n las llamadas funciones arm nicas que corresponden a oscilaciones del medio. En este caso dan cuenta que movimientos de cargas generan ondas que se propagan por el espacio que que a su vez pueden generar en otro lugar movimientos de cargas.
(ID 11568)
ID:(1567, 0)