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Accélération angulaire instantanée
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Pour décrire comment la vitesse angulaire évolue au fil du temps, il est nécessaire d'étudier sa variation dans le temps.
La relation de la variation de la vitesse angulaire équivaut à la variation de la vitesse angulaire sur le temps écoulé, qui, lorsqu'elle est divisée par ce temps, correspond à l'accélération angulaire.
Pour un intervalle de temps infinitésimal, l'accélération angulaire correspond à l'accélération angulaire instantanée.
ID:(1452, 0)
Accélération angulaire instantanée
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Pour décrire comment la vitesse angulaire évolue au fil du temps, il est nécessaire d'étudier sa variation dans le temps. La relation de la variation de la vitesse angulaire équivaut à la variation de la vitesse angulaire sur le temps écoulé, qui, lorsqu'elle est divisée par ce temps, correspond à l'accélération angulaire. Pour un intervalle de temps infinitésimal, l'accélération angulaire correspond à l'accélération angulaire instantanée.
Variables
Calculs
à 
,
puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Variable
Donnée
Calculer
Cible :
Équation
À utiliser
Équations
tant donn que l'acc l ration tangentielle est
Si le vecteur unitaire de l'axe est $\hat{n}$ et le vecteur unitaire radial est $\hat{r}$, le vecteur unitaire tangentiel peut tre calcul l'aide du produit vectoriel :
$\hat{t} = \hat{n} \times \hat{r}$
En cons quence, en consid rant que
$\vec{a} = a \hat{t}$
,
$\vec{r} = r \hat{r}$
et
$\vec{\alpha} = \alpha \hat{n}$
,
nous pouvons d duire que
$\vec{a} = a \hat{t} = a \hat{n} \times \hat{r} = r \alpha \hat{n} \times \hat{r} = \vec{\alpha} \times \vec{r}$
,
ce qui se traduit par
Exemples
Si l'on consid re un intervalle de temps $t$ avec une vitesse angulaire $\omega(t)$ et qu'un point est observ un moment futur $t+\Delta t$ avec une vitesse angulaire $\omega(t+\Delta t)$, l'acc l ration angulaire peut tre estim e comme la variation
$\omega(t+\Delta t)-\omega(t)$
au cours du temps $\Delta t$ :
$\alpha\sim\displaystyle\frac{\omega(t+\Delta t)-\omega(t)}{\Delta t}$
mesure que la valeur de $\Delta t$ diminue, l'acc l ration prend le r le de la tangente la courbe de vitesse ce moment-l :
Ceci g n ralise ce qui a d j t observ dans le cas de l'acc l ration angulaire constante.
La int grale d'une fonction correspond l'aire sous la courbe qui d finit cette fonction. Ainsi, l\'int grale de l\'acc l ration angulaire entre les instants $t_0$ et $t$ correspond la variation de la vitesse angulaire entre la vitesse angulaire initiale $\omega_0$ et $\omega$.
Par cons quent, en utilisant
Ce qui est repr sent sur le graphique suivant :
L'orientation de l'acc l ration tangentielle peut tre obtenue en utilisant la r gle de la main droite, o les doigts pointent vers l'axe, puis tournent vers le rayon :
Tout comme dans le cas de l'acc l ration de translation, il existe le concept d'acc l ration angulaire instantan e, qui est l'acc l ration angulaire avec
qui existe un moment sp cifique. Cela est calcul dans l'approximation de tr s petits intervalles de temps $(\Delta t\rightarrow 0)$, c'est- -dire
$\alpha=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\displaystyle\frac{d\omega}{dt}$
o
Si nous int grons la d finition de la vitesse angulaire par rapport au temps, en utilisant
Cela signifie que, pour un intervalle de temps $dt$, l'angle parcouru est donn par :
$d\omega = \alpha dt$
Si nous consid rons $N$ intervalles $dt_i$ avec les vitesses angulaires correspondantes $\alpha_i$, l'angle total parcouru sera :
$\omega - \omega_0 = \sum_i \alpha_i dt_i$
En consid rant la courbe de vitesse angulaire-temps, les l ments $\alpha_i dt_i$ correspondent des rectangles avec une hauteur $\alpha_i$ et une largeur $dt_i$. La somme correspond donc l'aire sous la courbe de vitesse angulaire-temps. Ainsi, la somme peut tre exprim e comme une int grale en utilisant
En g n ral, il faut comprendre l'acc l ration comme une grandeur tridimensionnelle, c'est- -dire vectorielle. Cela signifie que sa vitesse doit tre d crite par un vecteur vitesse angulaire $\vec{\omega}$ pour lequel on peut d finir une composante d'acc l ration avec
Ainsi, on peut g n raliser l\'acc l ration avec :
L'int gration de la d finition diff rentielle, c'est- -dire des variations temporelles infinit simales, par rapport l\' quation
Nous pouvons effectuer l\'int gration entre le temps $t_0$ et $t$ de l\'acc l ration $a(\tau)$ pour obtenir la vitesse $v(t)$ si la vitesse initiale est $v_0$, en utilisant l\' quation:
L'acc l ration angulaire est repr sent e sous forme de vecteur dans la direction de l'axe de rotation. tant donn que le rayon de rotation et l'acc l ration angulaire sont orthogonaux l'acc l ration tangentielle, nous avons :
Cette relation peut tre exprim e sous forme de produit vectoriel entre l'acc l ration angulaire et le rayon, crit comme suit :
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