En probabilidades se habla de que la probabilidad de que ocurra A despu s de que haya ocurrido B es igual

P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

La probabilidad P(A\mid B) depende de que haya ocurrido o no B.

Si lo llevamos al proceso de aprendizaje A y B representan el hecho de que hayamos ejecutado exitosamente un movimiento o no. Esto depender de que si lo logramos en la vez anterior ya que nuestro cuerpo registra que la acci n fue correcta y trata de repetirla. Si el anterior no fue exitoso realizaremos ajustes para lograr en el pr ximo intento el objetivo.

a(1-e^{-\alpha t})

Si se expresa la probabilidad en forma de porcentajes entonces una probabilidad indica la fracci n de las veces para cada 100 eventos que ocurran.

Ejemplo, si la probabilidad es 20% eso significa que ocurrir en 20 veces cada 100 veces que el evento ocurra.

Aun que se puede expresar la probabilidad como porcentajes se acostumbra a indicarla como una fracci n. O sea en el caso de 20% se indica que la probabilidad es de 0.2.

Como la probabilidad se define como la fracci n de que ocurra un evento en particular se puede estimar esta simplemente determinando el numero de veces que se da el evento considerado en proporci n a todos los eventos de distintos tipos que se den.

Por ello con list se tiene que

$p_6=\displaystyle\frac{3}{20}=0.15$

Un evento puede ser parte del conjunto de eventos A o no ser parte de ste. Los que no son parte de A forman un nuevo conjunto, que se denomina el complemento de A y se escribe como \bar{A}.

Como el evento o es parte de A o de \bar{A} la probabilidad de que sea de uno o del otro debe ser igual a uno. Por ello, con list se tiene la relaci n:

$P(\bar{A})=1-P(A)=1.0-0.35=0.65$

Si los eventos son independientes, el hecho que ocurra uno no afecta a que ocurra el otro.

Un ejemplo serian los eventos

A=\lbrace\mbox{dia asoleado}\rbrace

B=\lbrace\mbox{dia domingo}\rbrace

son independientes ya que el tiempo no se relaciona con el d a de la semana que sea.

La probabilidad de que ocurran dos eventos independientes del tipo A y B es igual a la multiplicaci n de las probabilidades respectivas P(A) y P(B):

equation

A modo de ejemplo si la probabilidad de que este asoleado es igual a P(asoleado)=0.6 y siendo la probabilidad de que sea domingo es P(domingo)=1/7=0.143 se tiene que la probabilidad de que sea un domingo asoleado es

P(asoleado)P(domingo)=0.6\cdot 0.143=0.086

En el caso de que los eventos sean mutuamente excluyentes se tiene que si ocurre A no ocurre B y si ocurre B no ocurre A.

En este caso la probabilidad de que ocurran ambos en forma simultanea es nula. Por ello

equation

La probabilidad de que ocurra A o B corresponde a que cada desenlace que arroja uno o el otro cuenta. Esto corresponde a la uni n de ambos eventos A \cup B y se calcula sumando ambas probabilidades.

Cuando los eventos A y B son mutuamente excluyente se puede determinar la probabilidad de que ocurra uno o el otro. La probabilidad se calcula como la suma de las probabilidades P(A) que ocurra A y P(B) que ocurra B:

equation

La suma nunca supera la unidad ya que ambos conjuntos no interceptan y en la suma no pueden ser mayor que todos los casos posibles.

Si los eventos NO son mutuamente excluyentes pueden existir eventos que pertenecen tanto a A como a B.

Esto lleva a que la probabilidad ya no se puede calcular como la suma de las probabilidades ya que la zona de intersecci n se estar a sumando en forma doble.

Cuando los eventos A y B NO son mutuamente excluyente la probabilidad se calcula como la suma de las probabilidades P(A) que ocurra A y P(B) que ocurra B, existiendo el problema que el conjunto A \cap B en que pueden coincidir, se estar a sumando dos veces. Por ello la probabilidad es la suma menos la probabilidad de que coincidan:

equation

La suma nunca supera la unidad ya que ambos conjuntos no interceptan y en la suma no pueden ser mayor que todos los casos posibles.

Los eventos pueden ocurrir en secuencia con lo que tiene sentido preguntar la probabilidad de que ocurra B si anteriormente ha ocurrido el evento A.

Para definir dicho tipo de probabilidades se emplea la nomenclatura P(A \mid B).

Cuando se ha dado el evento B, la probabilidad de que se de A ser

equation

La suma nunca supera la unidad ya que ambos conjuntos no interceptan y en la suma no pueden ser mayor que todos los casos posibles.

Por lo general si estudiamos un proceso en que queremos ver como evoluciona la capacidad de aprendizaje obtenemos largas listas de como el sujeto fue acertando y fallando en el tiempo. A primera vista las listas no permiten ver el efecto. Sin embargo si las sumamos, o sea representamos la suma de los xitos (1) y fracasos (0) hasta el n-esimo intento se obtienen curvas de la forma:

Aqu incluimos una segunda curva que es lo que habr a ocurrido si la persona hubiese acertado en todas. Vemos que en la parte inicial la curva comienza bastante plana y lentamente ganar en pendiente. Esto es el efecto de aprendizaje; la pendiente se relaciona con la tasa de xito. Si ''alisamos la curva'' mediante una regresi n podemos analizar un peque o segmento en el tiempo. Si el segmento tiene una duraci n $dt$ notaremos que habremos hecho $dn$ aciertos mientras que la recta de siempre acierta se habr incrementado en $dN$:

$p(t)=\displaystyle\frac{dn}{dN}$

o si tenemos el incremento temporal de cada cur

$p(t)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{dn}{dt}}{\displaystyle\frac{dN}{dt}}$

Si alisamos la curva que se obtuvo de la medici n y derivamos, obtendremos una probabilidad de la forma como se muestra en la curva a continuaci n:

La curva muestra que inicialmente la probabilidad de acierto es menor pero que con el tiempo se incrementa (aprendizaje). Sin embargo si continuamos realizando el experimento notaremos una nueva baja que corresponde al efecto del cansancio. Con el tiempo perdemos nuevamente tasa de xito pues nuestro cuerpo pierde energ a en los m sculos bajando la precisi n en su acci n.

Un problema adicional es el hecho que con el tiempo nos fatigamos y con ello nuestra capacidad de coordinaci n decrece. Este efecto esta sobrepuesto al aprendizaje y tambi n se puede representar como una probabilidad de ser exitoso.

Si se supone que ambos eventos son independientes tenderemos ...

be^{-\beta t}

Cuando aprendemos una nueva habilidad lo que aprendemos es a controlar nuestros m sculos de forma de lograr una acci n requerida.

Algunos de estos procesos esos son lentos por lo que vamos adecuando sobre la marcha la posici n del cuerpo hasta que se logra el objetivo.

En otros la acci n es m s r pida y no se puede corregir sobre la marcha. En este ltimo tipo de aprendizaje debemos repetir el movimiento hasta lograr el control de este. Por ello podemos hablar de intentos fallidos y exitosos y podemos de hecho definir una tasa de xito. El aprendizaje se puede por ello entender como un proceso en que vamos mejorando la tasa de xito hasta llegar a nuestro ptimo.

Hay pr cticas en que la tasa es cercana al 100% mientras que en otras practicas la tasa puede que nunca supere un valor bastante m s bajo. Ejemplo de esto son actividades deportivas que incluyen el logro de una operaci n un tanto m s compleja como es disparar a un blanco.

Para poder modelar y analizar este tipo de procesos debemos primero familiarizarnos con lo que son las probabilidades ya que la fracci n de xito no es otra cosa que la probabilidad de controlar un evento especifico.