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Caso sin interacción
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Para facilitar el análisis se puede considerar primero una especie dentro del ecosistema como si no existieran otras y resolver el modelo para entender el comportamiento.
Bajo dicho concepto nos damos cuenta que toda especie está restringida a la existencia de recursos que requiere para sobrevivir. En ese sentido toda especie está acotada en su desarrollo incluso para el caso en que se argumenta que no tiene enemigos naturales.
ID:(1897, 0)
Simplificación del modelo
Ecuación
Si se supone que solo existe una especie, la ecuación
| $\displaystyle\frac{d n_i }{dt}= r_i n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j$ |
se reduce a la ecuación
| $ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$ |
ya que las restantes poblaciones, incluyendo los términos mixtos en
ID:(14279, 0)
Solución asimptótica
Ecuación
La ecuación
| $ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$ |
tiende una solución asintótica igual a
| $ n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }$ |
\n\nque sólo tiene sentido si dicho valor es positivo. Por otro lado la ecuación para poblaciones pequeñas se reduce a\n\n
$\displaystyle\frac{dn}{dt}\sim r n$
lo que solo tiene sentido se el factor
Por ello el modelo solo tiene sentido se
el factor $r_i$ es siempre positivo
y
el factor diagonal (auto-interacción) $\alpha_{ii}$ es negativo
Esto último se puede entender en el contexto que un aumento desmedido será frenado por recursos no asociados a una especie (ejemplo espacio, luz, quimicos, etc.)
ID:(14281, 0)
Solución del modelo simplificado
Ecuación
La ecuación
| $ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$ |
con la condición
| $ n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }$ |
se puede resolver entregándonos la solución
| $ n(t) = \displaystyle\frac{n_{\infty}}{1 + (n_{\infty}/n_0 - 1)e^{-rt}}$ |
donde
ID:(14280, 0)