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Cellular Automata
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Los autómatas celulares son modelos en que discretiza el espacio tiempo y se definen autómatas en cada punto (célula) de la red que actúan en función de lo que hacen sus vecinos (autómatas pues tienen una forma definida de reaccionar). Un ejemplo es una estructura hexagonal:
Modelo D2Q7 (dos dimensiones y 7 elementos por celda - 6 lados y 1 centro)
En el caso que se aplica a un gas de partículas, cada nodo puede o no contener (estados 0 y 1) una partícula que puede solo tener las velocidades con las direcciones que los links entre celdas.
En la simulación con modelos tipo autómatas celulares existen dos fases:
- celda actúa sobre las demás
- celda procesa actuaciones del entorno
En el caso especial de que se modela un gas el primer paso corresponde al flujo (streaming) mientras que el segundo a las colisiones (collision).
la descripción matemática se realiza mediante la función de distribución de partículas
| $f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$ |
ID:(8494, 0)
Modelos D2Q9 (2 dimensiones, 9 puntos)
Imagen
El modelo D2Q9 es un modelo bidimensional (D2) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\nen el origen\\n\\n
$\vec{e}_0=(0,0)$
\\n\\nen las esquinas\\n\\n
$\vec{e}_1=(1,0)$
(E),\\n
$\vec{e}_2=(0,1)$
(N), \\n
$\vec{e}_3=(-1,0)$
(W) y \\n
$\vec{e}_4=(0,-1)$
(S)\\n\\ny en las diagonales\\n\\n
$\vec{e}_5=(1,1)$
(NE), \\n
$\vec{e}_6=(-1,1)$
(SE), \\n
$\vec{e}_7=(-1,-1)$
(SW) y \\n
$\vec{e}_8=(1,-1)$
(NW)
lo que se representa en la siguiente gráfica:
ID:(8496, 0)
Distribuciones D2Q9
Ecuación
El modelo D2Q9 la distribución en equilibrio se describe mediante la ecuación
| $f_i^{eq}=\rho\omega_i\left[1+3\vec{e}_i\cdot\vec{u}+\displaystyle\frac{9}{2}(\vec{e}_i\cdot\vec{u})^2-\displaystyle\frac{3}{2}\mid\vec{u}|^2\right]$ |
\\n\\nen donde los pesos de la probabilidad son\\n\\n
$\omega_0=\displaystyle\frac{4}{9}$
\\n\\n
$\omega_1=\omega_2=\omega_3=\omega_4=\displaystyle\frac{1}{9}$
\\n\\n
$\omega_5=\omega_6=\omega_7=\omega_8=\displaystyle\frac{1}{36}$
ID:(8705, 0)
Calculo nueva Distribuciones D2Q9
Ecuación
El modelo D2Q9 la distribución se recalcula por efecto de las colisiones mediante
| $f_i^{new}=f_i^{old}+\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_i^{eq}-f_i^{old})$ |
ID:(8706, 0)
Modelos D3Q15 (3 dimensiones, 15 puntos)
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El modelo D3Q15 es un modelo bidimensional (D3) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\n
$(1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1) y (0,0,-1)$
\\n\\ny en las esquinas del cubo\\n\\n
$(1,0,1), (-1,0,1), (0,1,1) , (0,-1,1), (1,0,-1), (-1,0,-1), (0,1,-1) , (0,-1,-1)$
lo que se representa en la siguiente gráfica:
Es facil que se pueden construir modelos del tipo D3Q19 (incluyendo las mitades de las aristas laterales) o D3Q27 (todos los puntos posibles).
ID:(8497, 0)
Streaming
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En la etapa de steraming (flujo) se transportan las partículas de una celda según la dirección de la velocidad que tengan hacia el nodo correspondiente:
\\n\\nEn el caso del streaming se re calculan las funciones distribución en el sentido de que se re calculan sus componentes:\\n\\n
$f_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta t,t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)$
En este punto también se incluye el efecto de los bordes que en el caso estático reflejan la velocidad (rebote) y en el caso que se estén moviendo la modifican.
ID:(8498, 0)
Collision
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En la etapa de colisiones se reasignan partículas de una dirección de velocidad a otra:
\\n\\nPara ello es necesario modelar la colisión que finalmente depende de la distribución misma y del tipo de interacción que exista. El resultado es que la nueva función distribución será:\\n\\n
$f_i(\vec{x},t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)+C(f)$
ID:(8495, 0)
Borde simple
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El borde mas simple es una pared paralela a la red misma de modo que las partículas pueden rebotar en forma simple:
\\n\\nEn estos casos la función distribución se deja fácilmente calcular simplemente invirtiendo la velocidad en la distribución en la posición simétrica al punto de rebote:\\n\\n
$f(\vec{x},e_i,t+\delta t)=f(\vec{x},-e_i,t)$
ID:(8501, 0)
Rebote en paredes ortogonales a la red
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Si el choque no ocurre en el punto de la red si no que a una distancia
\\n\\nentonces la función debe considerar el desfase ponderando las contribuciones\\n\\n
$f_i(x_f,t+\delta t)=\displaystyle\frac{(1-\Delta)f_{-i}(x_f,t)+\Delta(f_{-i}(x_b,t)+f_{-i}(x_{f2},t)}{1+\Delta}$
ID:(8499, 0)
Rebote en paredes con inclinación
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Si la pared muestra una inclinación respecto de la red debe ser modelada en una forma mas compleja:
Borde mas general
Primero debe ser definida una frontera aproximada que permita establecer las ecuaciones de borde necesarias. Luego deben ser aplicadas en el proceso de steraming.
ID:(8500, 0)
Rebote en paredes en Movimiento
Descripción
Si la pare se encuentra en movimiento a una velocidad $\vec{U}$ debe considerarse que puede incrementar o frenar a las partículas. En general se tendrá que\\n\\n
$f_i(\vec{e}_i,t+\delta t)=f_{-i}(\vec{e}_i)+G(\vec{e}_i,\vec{U})+G(-\vec{e}_i,-\vec{U})$
\\n\\nque se puede simplificar a \\n\\n
$f_i(e_i,t+\delta t)=f_{-i}(e_i)+\displaystyle\frac{6}{c^2}(\omega_im\vec{U}\cdot\vec{e}_i)$
ID:(8502, 0)