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La forma como se difunden las partículas depende de las dimensiones del sistema. En un sistema unidimensional solo existe una dirección y con ello menos dilusión lo que facilita la difusión. En un sistema bidimensional y mas en sistema tridimensional existe la posibilidad de desplazamientos laterales y por ello mas lenta la difusión.
ID:(1022, 0)
Ecuación de Difusión, 1D
Ecuación
La evolución temporal y espacial de la concentración $c$ en una dimensión está gobernada por la ecuación:
 $\displaystyle\frac{\partial c}{\partial t}=D\displaystyle\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}$ |
donde $D$ es la constante de difusión.
ID:(8381, 0)
Solución, 1D, estacionario
Ecuación
La solución de la ecuación
| $\displaystyle\frac{\partial c}{\partial t}=D\displaystyle\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}$ |
para el caso estacionario con concentración $c_1$ en la posición $x_1$ y concentración $c_2$ en la posición $x_2$ resulta en la siguiente distribución:
| $c(x)=c_1+\displaystyle\frac{c_2-c_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$ |
ID:(8388, 0)
Solución, 1D, estacionario, flujo
Ecuación
Con la solución
| $c(x)=c_1+\displaystyle\frac{c_2-c_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$ |
y la ecuación de Fick
| $ j =- D \displaystyle\frac{ dc_n }{ dz }$ |
el flujo se calcula de la siguiente manera:
| $j=-D\displaystyle\frac{c_2-c_1}{x_2-x_1}$ |
ID:(8389, 0)
Solución, 1D, puntual
Ecuación
La solución de la ecuación
| $\displaystyle\frac{\partial c}{\partial t}=D\displaystyle\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}$ |
para el caso de una concentración puntual $c$ (delta de Dirac) con un volumen total $M$ es la siguiente:
| $c(x,t)=\displaystyle\frac{M}{\sqrt{\pi Dt}}e^{-x^2/4Dt}$ |
ID:(8383, 0)
Solución, 1D, zona no puntual
Ecuación
La solución de la ecuación
| $\displaystyle\frac{\partial c}{\partial t}=D\displaystyle\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}$ |
para el caso de una concentración $c$ en un sistema semiinfinito con una concentración fija en el origen $c_0$ es la siguiente:
| $c(x,t)=\displaystyle\frac{1}{2}c_0\left(\textrm{erfc}\displaystyle\frac{h-x}{2\sqrt{Dt}}+\textrm{erfc}\displaystyle\frac{h+x}{2\sqrt{Dt}}\right)$ |
ID:(8385, 0)
Solución, 1D, semi-infinito
Ecuación
La solución de la ecuación
| $\displaystyle\frac{\partial c}{\partial t}=D\displaystyle\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}$ |
para el caso de una concentración $c$ en un sistema semi-infinito con una concentración fija en el origen $c_0$ es la siguiente:
| $c(x,t)=\displaystyle\frac{1}{2}c_0\textrm{erfc}\displaystyle\frac{x}{2\sqrt{Dt}}$ |
ID:(8384, 0)
Ecuación de Difusión, 2D
Ecuación
La evolución temporal y espacial de la concentración $c$ en dos dimensiones con simetría rotacional se rige por la ecuación:
| $\displaystyle\frac{\partial c}{\partial t}=\displaystyle\frac{D}{r}\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\left( r\displaystyle\frac{\partial c}{\partial r} \right)$ |
donde $D$ es la constante de difusión.
ID:(8382, 0)
Solución, 2D, estacionario
Ecuación
La solución de la ecuación
| $\displaystyle\frac{\partial c}{\partial t}=\displaystyle\frac{D}{r}\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\left( r\displaystyle\frac{\partial c}{\partial r} \right)$ |
para el caso estacionario con concentración $c_1$ en el radio $r_1$ y concentración $c_2$ en el radio $r_2$ resulta en un flujo como sigue:
| $c(r)=\displaystyle\frac{c_1\ln(r_2/r)+c_2\ln(r/r_1)}{\ln(r_2/r_1)}$ |
ID:(8386, 0)
Solución, 2D, estacionario, flujo
Ecuación
Para la solución
| $c(r)=\displaystyle\frac{c_1\ln(r_2/r)+c_2\ln(r/r_1)}{\ln(r_2/r_1)}$ |
el flujo se calcula de la siguiente manera:
| $J=\displaystyle\frac{2\pi D(c_2-c_1)}{\ln(r_2/r_1)}$ |
ID:(8387, 0)
Ecuación de Difusión, 3D
Ecuación
La evolución temporal y espacial de la concentración $c$ en dos dimensiones con simetría rotacional está gobernada por la ecuación:
| $\displaystyle\frac{\partial c}{\partial t}=D\left(\displaystyle\frac{\partial^2c}{\partial r^2}+\displaystyle\frac{2}{r}\displaystyle\frac{\partial c}{\partial r} \right)$ |
donde $D$ es la constante de difusión.
ID:(8390, 0)
Solución, 3D, estacionario
Ecuación
La solución de la ecuación
| $\displaystyle\frac{\partial c}{\partial t}=D\left(\displaystyle\frac{\partial^2c}{\partial r^2}+\displaystyle\frac{2}{r}\displaystyle\frac{\partial c}{\partial r} \right)$ |
para el caso estacionario con concentración $c_1$ en el radio $r_1$ y concentración $c_2$ en el radio $r_2$ resulta en un flujo como sigue:
| $c(r)=\displaystyle\frac{r_1c_1(r_2-r)+r_2c_2(r-r_1)}{r(r_2-r_1)}$ |
ID:(8391, 0)
Solución, 3D, estacionario, flujo
Ecuación
Para la solución
| $c(r)=\displaystyle\frac{c_1\ln(r_2/r)+c_2\ln(r/r_1)}{\ln(r_2/r_1)}$ |
el flujo se calcula de la siguiente manera:
| $J=4\pi D\displaystyle\frac{r_1r_2}{r_2-r_1}(c_2-c_1)$ |
ID:(8392, 0)