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Colisiones
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Dentro de la modelación de las partículas desplazándose entre las distintas celdas del espacio posición velocidades se deben considerar las múltiples colisiones entre estas.

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ID:(1112, 0)


Colisiones
Descripción

Dentro de la modelación de las partículas desplazándose entre las distintas celdas del espacio posición velocidades se deben considerar las múltiples colisiones entre estas.

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
$f_{in}$
f_in
Contribución a la función distribución que ingresan (gana)
-
$f_{out}$
f_out
Contribución a la función distribución que salen (pierde)
-
$f$
f
Función distribución de la teoría de transporte
-
$\sigma$
sigma
Sección eficaz de la colisión $(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}'_1,\vec{v}'_2)$
m^2
$t$
t
Tiempo
s
$\tau$
tau
Tiempo de relajamiento
s
$v$
v
Velocidad de la partícula que afecta la distribución
m/s
$v_1$
v_1
Velocidad partícula 1 que colisiona
m/s
$v_21$
v_21
Velocidad partícula 1 que resulta de la colisión
m/s
$v_2$
v_2
Velocidad partícula 2 que colisiona
m/s
$v_22$
v_22
Velocidad partícula 2 que resulta de la colisión
m/s

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

En caso de que las part culas colisionan la funci n distribuci n f(\vec{x},\vec{v},t) variara y\\n\\n

$\displaystyle\frac{df}{dt}\neq 0$



Las colisiones lleva a que part culas de celdas vecinas sufran un colisi n que las lleva a la celda en consideraci n y part culas dentro de la celda ser expulsadas. Lo primero lleva a un incremento de part culas f_{in} y el segundo a una perdida f_{out} por tiempo \tau. Por ello la ecuaci n de transporte de Boltzmann con colisiones puede escribirse como

$\displaystyle\frac{df}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})$

(ID 9077)

En caso de colisiones se tiene que dos part culas con velocidad \vec{v}_1 y \vec{v}_2 colisionan pasando a tener las velocidades \vec{v}_1' y \vec{v}_2' respectivamente. La probabilidad de que las velocidades tras la colisi n sean \vec{v}_1' y \vec{v}_2' se pueden calcular de la secci n eficaz \sigma seg n\\n\\n

$\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_1',\vec{v}_2')d\vec{v}_1'd\vec{v}_2')$

\\n\\nComo la probabilidad de que las part culas que entran a la colisi n sean \vec{v}_1 y \vec{v}_2 se calculan con la funci n distribuci n\\n\\n

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)$



Como el desplazamiento ocurre en funci n de la velocidad relativa |\vec{v}_2-\vec{v}_1| se tiene finalmente que la variaci n de las part culas son

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$

(ID 9078)

En el caso de contribuciones a la celda se considerar

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$



integrando sobre las velocidades que inician la colisi n y una de las resultantes ya que la otra es la contribuci n a la funci n distribuci n local

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_12f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})$

(ID 9079)

En el caso que abandonan la celda se considera

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$



integrando sobre una de las velocidades que inician la colisi n y ambas resultantes ya que la otra es la contribuci n a la funci n distribuci n local

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{out}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_12d\vec{v}_22f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v},t)|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)$

(ID 9080)

Con el termino de las colisiones que contribuyen

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$



y aquellas que reducen part culas

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_12f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})$



se obtiene el factor total de intercambio

$\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}2d\vec{v}_12(f(\vec{x},\vec{v}2,t)f(\vec{x},\vec{v}_12,t)-f(\vec{x},\vec{v},t)f(\vec{x},\vec{v}_1,t))|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}2,\vec{v}_12)$

(ID 9081)

ID:(1112, 0)