Wenn wir die Anzahl der F lle multiplizieren, erhalten wir eine Funktion mit einem sehr ausgepr gten Maximum.

Das System wird mit gr erer Wahrscheinlichkeit bei der Energie gefunden, an der das Maximum der Wahrscheinlichkeitskurve auftritt.

(ID 11543)

Um das Verhalten der Funktion der Zustandsanzahl zu untersuchen, k nnen wir sie um den Wert der Gleichgewichtsenergie $\bar{E}$ entwickeln. Wenn wir diese Entwicklung im Logarithmus der Zustandsanzahl durchf hren, erhalten wir

$\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}\eta^2\ldots$

wobei $\eta=E-\bar{E}$ ist. Mit f r die Definition von

und

$\lambda\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$

erhalten wir den Ausdruck mit :

(ID 3443)

Wenn wir die Erweiterung der Zustandsanzahl mit beta del sistema $1/J$, desviación de la energía $J$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía media $\bar{E}$ $-$ und medida del ancho de la distribución de probabilidad $1/J^2$ in Betracht ziehen:

k nnen wir das Logarithmus der Wahrscheinlichkeit absch tzen:

$\ln P = \ln[\Omega(E)\Omega'(E')] = \ln\Omega(E) + \ln\Omega'(E') = \ln\Omega(\bar{E}) + \ln\Omega'(\bar{E'}) + (\beta - \beta')\eta - \frac{1}{2}(\lambda + \lambda')\eta^2\ldots$

F r den Fall des Gleichgewichts sind beide Betas gleich, und die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Systeme eine Energie $E$ hat, reduziert sich auf eine Gau verteilung, die mit beta del sistema $1/J$, desviación de la energía $J$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía media $\bar{E}$ $-$ und medida del ancho de la distribución de probabilidad $1/J^2$ wie folgt ausgedr ckt wird:

wobei

$\lambda_0 = \lambda + \lambda'$

(ID 3444)

Der Faktor, der die Breite der Wahrscheinlichkeitskurve definiert, ist der quadratische Faktor in der Taylorreihenentwicklung, der mit wie folgt ausgedr ckt wird:

Es kann gezeigt werden, dass die eingef hrte Zahl $\lambda$ immer positiv ist. Ein Hinweis darauf ergibt sich aus der Funktion f r die Anzahl der Zust nde, die wir bereits f r den Fall freier Teilchen berechnet haben. In diesem Fall, da die Anzahl der Zust nde proportional zur Energie hoch erhoben zur Potenz der Freiheitsgrade $f$ ist, erhalten wir mit

$\Omega\sim E^f$

folgendes Ergebnis:

$\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-f\displaystyle\frac{\partial^2\ln E}{\partial E^2}=\displaystyle\frac{f}{E^2}$

.

(ID 11549)

Der Schl sselparameter bei der Untersuchung des Gleichgewichts wird durch den Logarithmus der Anzahl der Zust nde bestimmt, der mit wie folgt ausgedr ckt wird:

Der nat rliche Logarithmus der Anzahl der Zust nde, multipliziert mit der Boltzmann-Konstanten $k_B$, wird als die Entropie des Systems definiert, die mit wie folgt ausgedr ckt wird:

(ID 3439)

Die Definition von $\beta$ finden Sie unter

diejenige der Temperatur unter

und die der Entropie unter constante de Boltzmann $J/K$, entropia del sistema $J/K$ und numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$

Diese Definitionen f hren uns zu einer thermodynamischen Beziehung, die zeigt, wie die Temperatur $T$ in Beziehung steht zu constante de Boltzmann $J/K$, entropia del sistema $J/K$ und numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$:

(ID 3442)

Mit der Definition der Entropie als constante de Boltzmann $J/K$, entropia del sistema $J/K$ und numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$:

und in Erinnerung daran, dass im Gleichgewicht mit gilt:

schlussfolgern wir, dass im Gleichgewicht die Energie $E$ immer maximal sein muss mit :

(ID 3440)