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Modelo de Ising

Storyboard

Ising's model creates an iterative algorithm to solve the problem of permanent magnetization. A simplified version is shown in this chapter. The real one, which was Ising's thesis, shows that a one-dimensional chain cannot maintain a magnetic field without permanent magnetization. However, it is also the problem for a two-dimensional system and shows that in that case there is permanent magnetization.

>Model

ID:(540, 0)

Modelo de Ising

Storyboard

Variables

Symbol

Text

Variable

Value

Units

Calculate

MKS Value

MKS Units

$H$

Campo magnético

kg/C s

$H_i$

H_i

Campo magnético de Ising

kg/C s

$H_{eff}$

H_eff

Campo magnético efectivo

kg/C s

$H_0$

H_0

Campo magnético externo

kg/C s

$\bar{H}$

Campo magnético medio

kg/C s

$J$

Constante de acoplamiento

kg m^2

$k_B$

k_B

Constante de Boltzmann

kg m^2/s^2 K

$E$

Energía total

$\beta$

beta

Factor

$\beta$

C m^2/s

$N$

Números de partículas

$n$

Números de vecinos con que existe interacción

$\gamma$

gamma

Radio giroscópico

C/kg

$S_j$

S_j

Spin de la partícula

$j$

kg m^2/s

$S_k$

S_k

Spin de la partícula

$k$

kg m^2/s

$\bar{S}$

Spin medio

kg m^2/s

$\bar{S}_i$

mS_i

Spin medio, iteración

$k$

kg m^2/s

$\bar{S}_{i+1}$

mS_i1

Spin medio, iteración

$k+1$

kg m^2/s

$T$

Temperatura

$T_i$

T_i

Temperatura de Ising

Calculations

Equation

Number

First, select the equation:

, then, select the variable:

Symbol

Equation

Solved

Translated

Calculations

Symbol

Equation

Solved

Translated

Variable

Given

Calculate

Target :

Equation

To be used

Equations

$E =- g\gamma H \displaystyle\sum_{ j = 1}^ N S_j -2 J \displaystyle\sum_{ j =1}^ N \displaystyle\sum_{ k = 1}^ n S_j S_k$

E =- g * gamma * H @SUM( S_j , j , 1 , N )-2* J @SUM( S_j * @SUM( S_k , k , 1 , n ) , j , 1 , N )

$H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma }\sum_{ k =1}^ n S_k$

H_eff = H + J * @SUM( S_k , k , 1 , n )/(2* g * gamma )

$\bar{S} =\tanh( \beta g \gamma \bar{H} )$

S =tanh( beta * g * gamma * H_m )

$H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma } \bar{S}$

H_eff = H + J * S /(2* g * gamma )

$\bar{S} =\tanh\left( \beta g \gamma H + \beta n \displaystyle\frac{ J }{2} \bar{S} \right)$

mS =tanh( beta * g * gamma * H + beta * n * J * mS /2)

$T_i =\displaystyle\frac{ n J }{2 k_B }$

T_i = n * J /(2* k_B )

$H_i =\displaystyle\frac{ k_B T_i }{ g \gamma }$

H_i = k_B * T_i /( g * gamma )

$\bar{S} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_i }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_i }+ \bar{S} \right)\right)$

mS =tanh( T_i * H /( T * H_i )+ mS )

$\bar{S}_{k+1} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_c }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_c }+ \bar{S}_k \right)\right)$

mS_k1 =tanh( T_c * H /( T * H_c )+ mS_k )

Examples

Ising model

Uno de los problemas de calcular la funci n partici n es el hecho que los spins est n en forma de vectores. Una simplificaci n, que se denomina el modelo de Ising, es reemplazar el producto punto por una simple multiplicaci n de las componentes \hat{z} de los vectores. Si adicionalmente existe un flujo magn tico H la energ a del sistema sera con list de la forma

equation

Aproximaci n de campo medio

Para poder calcular la energ a se puede introducir el concepto de campo medio para el m-esimo spin. Para ello basta sumar solo en los z vecinos m s pr ximos obteni ndose para el spin j la energ a\\n\\n

$E_j=-g\gamma H S_j-2J\displaystyle\sum_{k=1}^n S_jS_k$

\\n\\nen donde la energ a total es\\n\\n

$E=\displaystyle\sum_{j=1}^N E_j$

\\n\\nLa energ a del j-esimo spin se puede escribir en funci n de un campo efectivo\\n\\n

$E_j=-g\gamma H_{eff}S_j$

con el campo efectivo con list

equation

Spin medio

En el caso de equilibro t rmico los spines del ferro-magneto tendr n un spin promedio igual a\\n\\n

$\bar{S}=\displaystyle\frac{e^{\beta g\gamma \bar{H}}-e^{-\beta g\gamma \bar{H}}}{e^{\beta g\gamma \bar{H}}+e^{-\beta g\gamma \bar{H}}}$

ya que pueden tener el spin ya sea en posici n up (+1) o down (-1). Escribiendo los exponenciales en funci n de la funci n hiperb lica se tiene que el spin medio es con list

equation

Campo medio con spin medio

Si se aproxima el campo medio es con list=4836 es

equation=4836\\n\\npor el spin medio\\n\\n

$\displaystyle\sum_{k=1}^nS_k=\bar{S}$

se obtiene una estimaci n del campo medio con list de la forma

equation

Ecuaci n para el spin medio

Con el campo medio en funci n del spin medio con list=4838 es

equation=4838

y la ecuaci n para el spin medio con list=4837

equation=4837

se obtiene una ecuaci n para el calculo del spin medio con list

equation

Temperatura de Ising

Para resolver la ecuaci n de spin medio se puede introducir una temperatura cr tica que con list es

equation

Campo Magn tico de Ising

Para resolver la ecuaci n de spin medio se puede introducir un campo magn tico cr tica que con list es

equation

Ecuaci n del modelo de Ising

Con la temperatura cr tica con list=4840

equation=4840

y el campo cr tico con list=4841

equation=4841

la ecuaci n para el calculo del spin medio con list=4839

equation=4839

se puede escribir como con list

equation

Soluci n iterativa del modelo de Ising

La ecuaci n del modelo de Ising es con list=4842

equation=4842

se puede resolver iterando la ecuaci n con list

equation

>Model

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