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Modelo de Ising

Storyboard

Isings Modell erstellt einen iterativen Algorithmus, um das Problem der Permanentmagnetisierung zu lösen. Eine vereinfachte Version wird in diesem Kapitel gezeigt. Die reale, die Isings These war, zeigt, dass eine eindimensionale Kette ein Magnetfeld ohne permanente Magnetisierung nicht aufrechterhalten kann. Es ist jedoch auch das Problem für ein zweidimensionales System und zeigt, dass in diesem Fall eine Permanentmagnetisierung vorliegt.

>Modell

ID:(540, 0)

Modelo de Ising

Storyboard

Variablen

Symbol

Text

Variable

Wert

Einheiten

Berechnen

MKS-Wert

MKS-Einheiten

$H$

Campo magnético

kg/C s

$H_i$

H_i

Campo magnético de Ising

kg/C s

$H_{eff}$

H_eff

Campo magnético efectivo

kg/C s

$H_0$

H_0

Campo magnético externo

kg/C s

$\bar{H}$

Campo magnético medio

kg/C s

$J$

Constante de acoplamiento

kg m^2

$k_B$

k_B

Constante de Boltzmann

kg m^2/s^2 K

$E$

Energía total

$\beta$

beta

Factor

$\beta$

C m^2/s

$N$

Números de partículas

$n$

Números de vecinos con que existe interacción

$\gamma$

gamma

Radio giroscópico

C/kg

$S_j$

S_j

Spin de la partícula

$j$

kg m^2/s

$S_k$

S_k

Spin de la partícula

$k$

kg m^2/s

$\bar{S}$

Spin medio

kg m^2/s

$\bar{S}_i$

mS_i

Spin medio, iteración

$k$

kg m^2/s

$\bar{S}_{i+1}$

mS_i1

Spin medio, iteración

$k+1$

kg m^2/s

$T$

Temperatura

$T_i$

T_i

Temperatura de Ising

Berechnungen

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen:

, dann die Variable auswählen:

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable

Gegeben

Berechnen

Ziel :

Gleichung

Zu verwenden

Gleichungen

$E =- g\gamma H \displaystyle\sum_{ j = 1}^ N S_j -2 J \displaystyle\sum_{ j =1}^ N \displaystyle\sum_{ k = 1}^ n S_j S_k$

E =- g * gamma * H @SUM( S_j , j , 1 , N )-2* J @SUM( S_j * @SUM( S_k , k , 1 , n ) , j , 1 , N )

$H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma }\sum_{ k =1}^ n S_k$

H_eff = H + J * @SUM( S_k , k , 1 , n )/(2* g * gamma )

$\bar{S} =\tanh( \beta g \gamma \bar{H} )$

S =tanh( beta * g * gamma * H_m )

$H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma } \bar{S}$

H_eff = H + J * S /(2* g * gamma )

$\bar{S} =\tanh\left( \beta g \gamma H + \beta n \displaystyle\frac{ J }{2} \bar{S} \right)$

mS =tanh( beta * g * gamma * H + beta * n * J * mS /2)

$T_i =\displaystyle\frac{ n J }{2 k_B }$

T_i = n * J /(2* k_B )

$H_i =\displaystyle\frac{ k_B T_i }{ g \gamma }$

H_i = k_B * T_i /( g * gamma )

$\bar{S} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_i }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_i }+ \bar{S} \right)\right)$

mS =tanh( T_i * H /( T * H_i )+ mS )

$\bar{S}_{k+1} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_c }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_c }+ \bar{S}_k \right)\right)$

mS_k1 =tanh( T_c * H /( T * H_c )+ mS_k )

Beispiele

Ising Modell

Uno de los problemas de calcular la funci n partici n es el hecho que los spins est n en forma de vectores. Una simplificaci n, que se denomina el modelo de Ising, es reemplazar el producto punto por una simple multiplicaci n de las componentes \hat{z} de los vectores. Si adicionalmente existe un flujo magn tico H la energ a del sistema sera con list de la forma

equation

Aproximaci n de Campo Medio

Para poder calcular la energ a se puede introducir el concepto de campo medio para el m-esimo spin. Para ello basta sumar solo en los z vecinos m s pr ximos obteni ndose para el spin j la energ a\\n\\n

$E_j=-g\gamma H S_j-2J\displaystyle\sum_{k=1}^n S_jS_k$

\\n\\nen donde la energ a total es\\n\\n

$E=\displaystyle\sum_{j=1}^N E_j$

\\n\\nLa energ a del j-esimo spin se puede escribir en funci n de un campo efectivo\\n\\n

$E_j=-g\gamma H_{eff}S_j$

con el campo efectivo con list

equation

Spin Medio

En el caso de equilibro t rmico los spines del ferro-magneto tendr n un spin promedio igual a\\n\\n

$\bar{S}=\displaystyle\frac{e^{\beta g\gamma \bar{H}}-e^{-\beta g\gamma \bar{H}}}{e^{\beta g\gamma \bar{H}}+e^{-\beta g\gamma \bar{H}}}$

ya que pueden tener el spin ya sea en posici n up (+1) o down (-1). Escribiendo los exponenciales en funci n de la funci n hiperb lica se tiene que el spin medio es con list

equation

Campo Medio con Spin medio

Si se aproxima el campo medio es con list=4836 es

equation=4836\\n\\npor el spin medio\\n\\n

$\displaystyle\sum_{k=1}^nS_k=\bar{S}$

se obtiene una estimaci n del campo medio con list de la forma

equation

Ecuaci n para el Spin medio

Con el campo medio en funci n del spin medio con list=4838 es

equation=4838

y la ecuaci n para el spin medio con list=4837

equation=4837

se obtiene una ecuaci n para el calculo del spin medio con list

equation

Temperatura de Ising

Para resolver la ecuaci n de spin medio se puede introducir una temperatura cr tica que con list es

equation

Campo Magn tico de Ising

Para resolver la ecuaci n de spin medio se puede introducir un campo magn tico cr tica que con list es

equation

Ecuaci n del Modelo de Ising

Con la temperatura cr tica con list=4840

equation=4840

y el campo cr tico con list=4841

equation=4841

la ecuaci n para el calculo del spin medio con list=4839

equation=4839

se puede escribir como con list

equation

Soluci n iterativa del Modelo de Ising

La ecuaci n del modelo de Ising es con list=4842

equation=4842

se puede resolver iterando la ecuaci n con list

equation

>Modell

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