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Ecuación de Langevin

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Una forma simple de modelar el movimiento Browneano es la introducción de una ecuación que describe el movimiento de una partícula en un entorno de fuerza aleatoria.

>Modelo

ID:(1139, 0)



El movimiento Brownieano

Definición

Robert Brown, un biólogo, observo bajo su microscopio como partículas de polen que flotaban sobre agua realizaban un movimiento vibratorio. Concluyo que esto se tendría que deber a fuerza ejercidas por partículas en el agua. En general podemos asumir que partículas en un sistema se pueden modelar como masas expuestas a fuerzas aleatorias que actúan sobre ellas.

ID:(9118, 0)



Ecuación de Langevin

Descripción

Una forma simple de modelar el movimiento Browneano es la introducción de una ecuación que describe el movimiento de una partícula en un entorno de fuerza aleatoria.

Variables

Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
\alpha
alpha
Coeficiente viscoso
kg/s
k_B
k_B
Constante de Boltzmann
J/K
F
F
Fuerza aleatoria
N
\langle F\rangle
bF_k
Fuerza aleatoria media
N
G
G
Fuerza externa
N
\bar{G}
mG
Fuerza externa media
N
m
m
Masa de la partícula
kg
u(t)
u
Perturbación de la velocidad de la partícula
m/s
\langle u(t)\rangle
bu_k
Promedio de la perturbación de la velocidad
m/s
\langle x^2\rangle
bx2_k
Promedio de la posición al cuadrado
m^2
\langle x^2\rangle_{\infty}
bx2_ki
Promedio de la posición al cuadrado, largo plazo
m^2
\langle xv \rangle
bxv_k
Promedio de la posición por la velocidad
m/s^2
\langle v(t)\rangle
bv_k
Promedio de la velocidad de la partícula
m/s
T
T
Temperatura
K
t
t
Tiempo
s
v
v
Velocidad de la partícula
m/s
\bar{v}
mv
Velocidad media
m/s

Cálculos


Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
m dv / dt = G + F v = mv + u m * dmv / dt = mG b_vt_k = mv + b_u_k = mv m *@DIFF( b_u_k , t , 1 ) = b_F_k m * dv / dt =- alpha * v + G m * xv =- alpha * xv + 3* k_B * T dx2 / dt = 2 * x * v x2 = 3* m * k_B * T *( alpha * t / m -1+exp(- alpha * t / m ))/(2* alpha )mxv = 3* k_B * T *(1- exp(- alpha * t / m ))/ alpha \\n x2_0 =3* k_B * T * t^2/(4* m ) x2 = 3* k_B * T * t /(2* alpha )alphak_BFbF_kGmGmubu_kbx2_kbx2_kibxv_kbv_kTtvmv

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar
m dv / dt = G + F v = mv + u m * dmv / dt = mG b_vt_k = mv + b_u_k = mv m *@DIFF( b_u_k , t , 1 ) = b_F_k m * dv / dt =- alpha * v + G m * xv =- alpha * xv + 3* k_B * T dx2 / dt = 2 * x * v x2 = 3* m * k_B * T *( alpha * t / m -1+exp(- alpha * t / m ))/(2* alpha )mxv = 3* k_B * T *(1- exp(- alpha * t / m ))/ alpha \\n x2_0 =3* k_B * T * t^2/(4* m ) x2 = 3* k_B * T * t /(2* alpha )alphak_BFbF_kGmGmubu_kbx2_kbx2_kibxv_kbv_kTtvmv



Ecuaciones


Ejemplos

Robert Brown, un bi logo, observo bajo su microscopio como part culas de polen que flotaban sobre agua realizaban un movimiento vibratorio. Concluyo que esto se tendr a que deber a fuerza ejercidas por part culas en el agua. En general podemos asumir que part culas en un sistema se pueden modelar como masas expuestas a fuerzas aleatorias que act an sobre ellas.

(ID 9118)

Para modelar el movimiento Browneano se puede asumir que la part cula tiene una masa m y velocidad v expuesta a una fuerza externa G y una fuerza aleatoria F. Por ello la ecuaci n de movimiento ser con :

m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t)

(ID 9119)

La velocidad de la particular se puede describir como una velocidad media \bar{v} mas una velocidad que fluct a u de modo que con

v(t) = \bar{v} + u(t)

(ID 9120)

La velocidad media significa que en un promedio temporal\\n\\n

\langle f\rangle=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_0^Tdt f(t)



se tiene que con con

$$



que con

\langle v(t)\rangle=\bar{v}+\langle u(t)\rangle\sim\bar{v}

dado que el promedio de las fluctuaciones tienden a cero.

(ID 9122)

Si se promedia la ecuaci n de movimiento con fuerza aleatoria N, fuerza externa N, masa de la partícula kg, tiempo s y velocidad de la partícula m/s

m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t)

\\n\\nen el tiempo y se asume que el promedio sobre la fuerza aleatoria es nula\\n\\n

\bar{F}\sim 0



se concluye que la fuerza externa define la velocidad media de la part cula con fuerza aleatoria N, fuerza externa N, masa de la partícula kg, tiempo s y velocidad de la partícula m/s

m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G}

(ID 9121)

Si se promedia la ecuaci n de movimiento con fuerza aleatoria N, fuerza externa N, masa de la partícula kg, tiempo s y velocidad de la partícula m/s

m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t)



para tiempos mas cortos y si la funci n G varia en forma lenta, se puede con

m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G}



reducir la ecuaci n de movimiento con fuerza aleatoria N, fuerza externa N, masa de la partícula kg, tiempo s y velocidad de la partícula m/s a

m\displaystyle\frac{d\langle u\rangle}{dt}=\langle F\rangle

(ID 9123)

Considerando la ecuaci n de la velocidad media con fuerza externa media N, masa de la partícula kg, tiempo s y velocidad media m/s

m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G}

,

la de la fluctuaci n con fuerza aleatoria media N, masa de la partícula kg, promedio de la perturbación de la velocidad m/s y tiempo s

m\displaystyle\frac{d\langle u\rangle}{dt}=\langle F\rangle

,

el modelo de la fuerza aleatoria con coeficiente viscoso kg/s, fuerza externa N, masa de la partícula kg, tiempo s y velocidad de la partícula m/s

m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G

,

y que la velocidad de la part cula es la suma de una velocidad media y una fluctuaci n con perturbación de la velocidad de la partícula m/s, velocidad de la partícula m/s y velocidad media m/s

v(t) = \bar{v} + u(t)

,

se puede proponer la ecuaci n de Langevin con perturbación de la velocidad de la partícula m/s, velocidad de la partícula m/s y velocidad media m/s

m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G

,

(ID 9124)

Para estudiar como se mueven las particulars bajo la fuerza aleatoria se puede calcular lo que es la dispersi n en el tiempo. Para ello se debe calcular \langle x^2\rangle donde x es la posici n. Como con

\displaystyle\frac{d}{dt}\langle x^2\rangle =2\langle xv\rangle

se tiene que esta se puede estimar usando un modelo de comportamiento como lo describe la ecuaci n de Langevin.

(ID 9127)

Si se multiplica la ecuaci n de Lagevin con coeficiente viscoso kg/s, fuerza externa N, masa de la partícula kg, tiempo s y velocidad de la partícula m/s

m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G

\\n\\npara el caso sin fuerza externa por la posici n x y se promedia en el tiempo se obtiene\\n\\n

m\langle x\displaystyle\frac{dv}{dt}\rangle =-\alpha \langle xv\rangle

\\n\\nComo\\n\\n

\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle = \langle x\displaystyle\frac{dv}{dt}\rangle + \langle v^2\rangle



y con el teorema de equipartici n con

\displaystyle\frac{1}{2} m \langle v^2\rangle=\displaystyle\frac{3}{2} k_B T



se tiene la ecuaci n con

m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT

(ID 9125)

Si se integra la ecuaci n con coeficiente viscoso kg/s, constante de Boltzmann J/K, masa de la partícula kg, promedio de la posición por la velocidad m^2/s y temperatura K

m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT

\\n\\nen el tiempo se obtiene con la condici n inicial\\n\\n

\langle xv\rangle(0)=0



se obtiene con coeficiente viscoso kg/s, constante de Boltzmann J/K, masa de la partícula kg, promedio de la posición por la velocidad m^2/s y temperatura K

\langle x v \rangle(t) = \displaystyle\frac{3 k_B T }{ \alpha }(1-e^{- \alpha t / m })

(ID 9744)

En el caso de tiempos largos las ecuaciones para la dispersi n con promedio de la posición al cuadrado m^2, promedio de la posición por la velocidad m^2/s y tiempo s

\displaystyle\frac{d}{dt}\langle x^2\rangle =2\langle xv\rangle



y la ecuaci n de Langevin en la forma con coeficiente viscoso kg/s, constante de Boltzmann J/K, masa de la partícula kg, promedio de la posición por la velocidad m^2/s y temperatura K

m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT



llevan a que el cuadrado de la dispersi n sea proporcional al tiempo con coeficiente viscoso kg/s, constante de Boltzmann J/K, masa de la partícula kg, promedio de la posición por la velocidad m^2/s y temperatura K

\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)

(ID 9128)

La soluci n de dispersi n de las part culas con coeficiente viscoso kg/s, constante de Boltzmann J/K, masa de la partícula kg, promedio de la posición al cuadrado m^2, temperatura K y tiempo s

\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)



se reduce en el limite en que t\ll m/\alpha a con coeficiente viscoso kg/s, constante de Boltzmann J/K, masa de la partícula kg, promedio de la posición al cuadrado m^2, temperatura K y tiempo s

\langle x^2\rangle_0 =\displaystyle\frac{3k_BT}{4m}t^2

(ID 9745)

La soluci n de dispersi n de las part culas con coeficiente viscoso kg/s, constante de Boltzmann J/K, masa de la partícula kg, promedio de la posición al cuadrado m^2, temperatura K y tiempo s

\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)



se reduce en el limite en que t\gg m/\alpha a con coeficiente viscoso kg/s, constante de Boltzmann J/K, masa de la partícula kg, promedio de la posición al cuadrado m^2, temperatura K y tiempo s

\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3k_BT}{2\alpha}t

(ID 9746)


ID:(1139, 0)