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Ecuación de Langevin

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Una forma simple de modelar el movimiento Browneano es la introducción de una ecuación que describe el movimiento de una partícula en un entorno de fuerza aleatoria.

>Modell

ID:(1139, 0)

El movimiento Brownieano

Definition

Robert Brown, un biólogo, observo bajo su microscopio como partículas de polen que flotaban sobre agua realizaban un movimiento vibratorio. Concluyo que esto se tendría que deber a fuerza ejercidas por partículas en el agua. En general podemos asumir que partículas en un sistema se pueden modelar como masas expuestas a fuerzas aleatorias que actúan sobre ellas.

ID:(9118, 0)

Ecuación de Langevin

Beschreibung

Una forma simple de modelar el movimiento Browneano es la introducción de una ecuación que describe el movimiento de una partícula en un entorno de fuerza aleatoria.

Variablen

Symbol

Text

Variable

Wert

Einheiten

Berechnen

MKS-Wert

MKS-Einheiten

$\alpha$

alpha

Coeficiente viscoso

kg/s

$k_B$

k_B

Constante de Boltzmann

J/K

$F$

Fuerza aleatoria

$\langle F\rangle$

bF_k

Fuerza aleatoria media

$G$

Fuerza externa

$\bar{G}$

Fuerza externa media

$m$

Masa de la partícula

$u(t)$

Perturbación de la velocidad de la partícula

m/s

$\langle u(t)\rangle$

bu_k

Promedio de la perturbación de la velocidad

m/s

$\langle x^2\rangle$

bx2_k

Promedio de la posición al cuadrado

m^2

$\langle x^2\rangle_{\infty}$

bx2_ki

Promedio de la posición al cuadrado, largo plazo

m^2

$\langle xv \rangle$

bxv_k

Promedio de la posición por la velocidad

m/s^2

$\langle v(t)\rangle$

bv_k

Promedio de la velocidad de la partícula

m/s

$T$

Temperatura

$t$

Tiempo

$v$

Velocidad de la partícula

m/s

$\bar{v}$

Velocidad media

m/s

Berechnungen

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen:

, dann die Variable auswählen:

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable

Gegeben

Berechnen

Ziel :

Gleichung

Zu verwenden

Gleichungen

$m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t)$

m dv / dt = G + F

(ID 9119)

$v(t) = \bar{v} + u(t)$

v = mv + u

(ID 9120)

$m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G}$

m * dmv / dt = mG

(ID 9121)

$\langle v(t)\rangle=\bar{v}+\langle u(t)\rangle\sim\bar{v}$

b_vt_k = mv + b_u_k = mv

(ID 9122)

$m\displaystyle\frac{d\langle u\rangle}{dt}=\langle F\rangle$

m *@DIFF( b_u_k , t , 1 ) = b_F_k

(ID 9123)

$m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G$

m * dv / dt =- alpha * v + G

(ID 9124)

$m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$

m * xv =- alpha * xv + 3* k_B * T

(ID 9125)

$\displaystyle\frac{d}{dt}\langle x^2\rangle =2\langle xv\rangle$

dx2 / dt = 2 * x * v

(ID 9127)

$\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$

x2 = 3* m * k_B * T *( alpha * t / m -1+exp(- alpha * t / m ))/(2* alpha )

(ID 9128)

$\langle x v \rangle(t) = \displaystyle\frac{3 k_B T }{ \alpha }(1-e^{- \alpha t / m })$

mxv = 3* k_B * T *(1- exp(- alpha * t / m ))/ alpha \\n

(ID 9744)

$\langle x^2\rangle_0 =\displaystyle\frac{3k_BT}{4m}t^2$

x2_0 =3* k_B * T * t^2/(4* m )

(ID 9745)

$\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3k_BT}{2\alpha}t$

x2 = 3* k_B * T * t /(2* alpha )

(ID 9746)

Beispiele

El movimiento Brownieano

Robert Brown, un bi logo, observo bajo su microscopio como part culas de polen que flotaban sobre agua realizaban un movimiento vibratorio. Concluyo que esto se tendr a que deber a fuerza ejercidas por part culas en el agua. En general podemos asumir que part culas en un sistema se pueden modelar como masas expuestas a fuerzas aleatorias que act an sobre ellas.

(ID 9118)

Ecuaci n de Langevin

Para modelar el movimiento Browneano se puede asumir que la part cula tiene una masa m y velocidad v expuesta a una fuerza externa G y una fuerza aleatoria F. Por ello la ecuaci n de movimiento ser con :

$m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t)$

(ID 9119)

Descomposici n de la velocidad

La velocidad de la particular se puede describir como una velocidad media \bar{v} mas una velocidad que fluct a u de modo que con

$v(t) = \bar{v} + u(t)$

(ID 9120)

Velocidad media

La velocidad media significa que en un promedio temporal\\n\\n

$\langle f\rangle=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_0^Tdt f(t)$

se tiene que con con

que con

$\langle v(t)\rangle=\bar{v}+\langle u(t)\rangle\sim\bar{v}$

dado que el promedio de las fluctuaciones tienden a cero.

(ID 9122)

Promedio de la ecuaci n de movimiento

Si se promedia la ecuaci n de movimiento con fuerza aleatoria $N$ , fuerza externa $N$ , masa de la partícula $kg$ , tiempo $s$ und velocidad de la partícula $m/s$

$m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t)$

\\n\\nen el tiempo y se asume que el promedio sobre la fuerza aleatoria es nula\\n\\n

$\bar{F}\sim 0$

se concluye que la fuerza externa define la velocidad media de la part cula con fuerza aleatoria $N$ , fuerza externa $N$ , masa de la partícula $kg$ , tiempo $s$ und velocidad de la partícula $m/s$

$m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G}$

(ID 9121)

Ecuaci n de fluctuaciones

Si se promedia la ecuaci n de movimiento con fuerza aleatoria $N$ , fuerza externa $N$ , masa de la partícula $kg$ , tiempo $s$ und velocidad de la partícula $m/s$

$m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t)$

para tiempos mas cortos y si la funci n G varia en forma lenta, se puede con

$m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G}$

reducir la ecuaci n de movimiento con fuerza aleatoria $N$ , fuerza externa $N$ , masa de la partícula $kg$ , tiempo $s$ und velocidad de la partícula $m/s$ a

$m\displaystyle\frac{d\langle u\rangle}{dt}=\langle F\rangle$

(ID 9123)

Ecuaci n de Lagevin

Considerando la ecuaci n de la velocidad media con fuerza externa media $N$ , masa de la partícula $kg$ , tiempo $s$ und velocidad media $m/s$

$m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G}$

,

la de la fluctuaci n con fuerza aleatoria media $N$ , masa de la partícula $kg$ , promedio de la perturbación de la velocidad $m/s$ und tiempo $s$

$m\displaystyle\frac{d\langle u\rangle}{dt}=\langle F\rangle$

,

el modelo de la fuerza aleatoria con coeficiente viscoso $kg/s$ , fuerza externa $N$ , masa de la partícula $kg$ , tiempo $s$ und velocidad de la partícula $m/s$

$m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G$

,

y que la velocidad de la part cula es la suma de una velocidad media y una fluctuaci n con perturbación de la velocidad de la partícula $m/s$ , velocidad de la partícula $m/s$ und velocidad media $m/s$

$v(t) = \bar{v} + u(t)$

,

se puede proponer la ecuaci n de Langevin con perturbación de la velocidad de la partícula $m/s$ , velocidad de la partícula $m/s$ und velocidad media $m/s$

$m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G$

(ID 9124)

Dispersi n de las part culas

Para estudiar como se mueven las particulars bajo la fuerza aleatoria se puede calcular lo que es la dispersi n en el tiempo. Para ello se debe calcular \langle x^2\rangle donde x es la posici n. Como con

$\displaystyle\frac{d}{dt}\langle x^2\rangle =2\langle xv\rangle$

se tiene que esta se puede estimar usando un modelo de comportamiento como lo describe la ecuaci n de Langevin.

(ID 9127)

Aplicaci n de la ecuaci n de Langevin

Si se multiplica la ecuaci n de Lagevin con coeficiente viscoso $kg/s$ , fuerza externa $N$ , masa de la partícula $kg$ , tiempo $s$ und velocidad de la partícula $m/s$

$m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G$

\\n\\npara el caso sin fuerza externa por la posici n x y se promedia en el tiempo se obtiene\\n\\n

$m\langle x\displaystyle\frac{dv}{dt}\rangle =-\alpha \langle xv\rangle$

\\n\\nComo\\n\\n

$\langle x\displaystyle\frac{dv}{dt}\rangle = \displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle-\langle v^2\rangle$

y con el teorema de equipartici n con

$\displaystyle\frac{1}{2} m \langle v^2\rangle=\displaystyle\frac{3}{2} k_B T$

se tiene la ecuaci n con

$m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$

(ID 9125)

Soluci n de la aplicaci n de la ecuaci n de Langevin

Si se integra la ecuaci n con coeficiente viscoso $kg/s$ , constante de Boltzmann $J/K$ , masa de la partícula $kg$ , promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ und temperatura $K$

$m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$

\\n\\nen el tiempo se obtiene con la condici n inicial\\n\\n

$\langle xv(0)\rangle=0$

se obtiene con coeficiente viscoso $kg/s$ , constante de Boltzmann $J/K$ , masa de la partícula $kg$ , promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ und temperatura $K$

$\langle x v \rangle(t) = \displaystyle\frac{3 k_B T }{ \alpha }(1-e^{- \alpha t / m })$

(ID 9744)

Soluci n dispersi n de las part culas

En el caso de tiempos largos las ecuaciones para la dispersi n con promedio de la posición al cuadrado $m^2$ , promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ und tiempo $s$

$\displaystyle\frac{d}{dt}\langle x^2\rangle =2\langle xv\rangle$

y la ecuaci n de Langevin en la forma con coeficiente viscoso $kg/s$ , constante de Boltzmann $J/K$ , masa de la partícula $kg$ , promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ und temperatura $K$

$m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$

llevan a que el cuadrado de la dispersi n sea proporcional al tiempo con coeficiente viscoso $kg/s$ , constante de Boltzmann $J/K$ , masa de la partícula $kg$ , promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ und temperatura $K$

$\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$

(ID 9128)

L mite de la soluci n dispersi n de las part culas a corto plazo

La soluci n de dispersi n de las part culas con coeficiente viscoso $kg/s$ , constante de Boltzmann $J/K$ , masa de la partícula $kg$ , promedio de la posición al cuadrado $m^2$ , temperatura $K$ und tiempo $s$

$\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$

se reduce en el limite en que t\ll m/\alpha a con coeficiente viscoso $kg/s$ , constante de Boltzmann $J/K$ , masa de la partícula $kg$ , promedio de la posición al cuadrado $m^2$ , temperatura $K$ und tiempo $s$

$\langle x^2\rangle_0 =\displaystyle\frac{3k_BT}{4m}t^2$

(ID 9745)

L mite de la soluci n dispersi n de las part culas a largo plazo

$\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$

se reduce en el limite en que t\gg m/\alpha a con coeficiente viscoso $kg/s$ , constante de Boltzmann $J/K$ , masa de la partícula $kg$ , promedio de la posición al cuadrado $m^2$ , temperatura $K$ und tiempo $s$

$\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3k_BT}{2\alpha}t$

(ID 9746)

ID:(1139, 0)