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Ecuación de Langevin
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Una forma simple de modelar el movimiento Browneano es la introducción de una ecuación que describe el movimiento de una partícula en un entorno de fuerza aleatoria.
ID:(1139, 0)
El movimiento Brownieano
Definition
Robert Brown, un biólogo, observo bajo su microscopio como partículas de polen que flotaban sobre agua realizaban un movimiento vibratorio. Concluyo que esto se tendría que deber a fuerza ejercidas por partículas en el agua. En general podemos asumir que partículas en un sistema se pueden modelar como masas expuestas a fuerzas aleatorias que actúan sobre ellas.
ID:(9118, 0)
Ecuación de Langevin
Description
Una forma simple de modelar el movimiento Browneano es la introducción de una ecuación que describe el movimiento de una partícula en un entorno de fuerza aleatoria.
Variables
Calculations
to 
,
then, select the variable: 
to 
Calculations
Variable
Given
Calculate
Target :
Equation
To be used
Equations
(ID 9120)
Examples
Robert Brown, un bi logo, observo bajo su microscopio como part culas de polen que flotaban sobre agua realizaban un movimiento vibratorio. Concluyo que esto se tendr a que deber a fuerza ejercidas por part culas en el agua. En general podemos asumir que part culas en un sistema se pueden modelar como masas expuestas a fuerzas aleatorias que act an sobre ellas.
(ID 9118)
Para modelar el movimiento Browneano se puede asumir que la part cula tiene una masa
| $ m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t) $ |
(ID 9119)
La velocidad de la particular se puede describir como una velocidad media
| $ v(t) = \bar{v} + u(t) $ |
(ID 9120)
La velocidad media significa que en un promedio temporal\\n\\n
$\langle f\rangle=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_0^Tdt f(t)$
se tiene que con con
| $$ |
que con
| $\langle v(t)\rangle=\bar{v}+\langle u(t)\rangle\sim\bar{v}$ |
dado que el promedio de las fluctuaciones tienden a cero.
(ID 9122)
Si se promedia la ecuaci n de movimiento con fuerza aleatoria $N$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t) $ |
\\n\\nen el tiempo y se asume que el promedio sobre la fuerza aleatoria es nula\\n\\n
$\bar{F}\sim 0$
se concluye que la fuerza externa define la velocidad media de la part cula con fuerza aleatoria $N$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G} $ |
(ID 9121)
Si se promedia la ecuaci n de movimiento con fuerza aleatoria $N$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t) $ |
para tiempos mas cortos y si la funci n
| $ m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G} $ |
reducir la ecuaci n de movimiento con fuerza aleatoria $N$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$ a
| $m\displaystyle\frac{d\langle u\rangle}{dt}=\langle F\rangle$ |
(ID 9123)
Considerando la ecuaci n de la velocidad media con fuerza externa media $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad media $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G} $ |
,
la de la fluctuaci n con fuerza aleatoria media $N$, masa de la partícula $kg$, promedio de la perturbación de la velocidad $m/s$ and tiempo $s$
| $m\displaystyle\frac{d\langle u\rangle}{dt}=\langle F\rangle$ |
,
el modelo de la fuerza aleatoria con coeficiente viscoso $kg/s$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G $ |
,
y que la velocidad de la part cula es la suma de una velocidad media y una fluctuaci n con perturbación de la velocidad de la partícula $m/s$, velocidad de la partícula $m/s$ and velocidad media $m/s$
| $ v(t) = \bar{v} + u(t) $ |
,
se puede proponer la ecuaci n de Langevin con perturbación de la velocidad de la partícula $m/s$, velocidad de la partícula $m/s$ and velocidad media $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G $ |
,
(ID 9124)
Para estudiar como se mueven las particulars bajo la fuerza aleatoria se puede calcular lo que es la dispersi n en el tiempo. Para ello se debe calcular
| $\displaystyle\frac{d}{dt}\langle x^2\rangle =2\langle xv\rangle$ |
se tiene que esta se puede estimar usando un modelo de comportamiento como lo describe la ecuaci n de Langevin.
(ID 9127)
Si se multiplica la ecuaci n de Lagevin con coeficiente viscoso $kg/s$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G $ |
\\n\\npara el caso sin fuerza externa por la posici n
$m\langle x\displaystyle\frac{dv}{dt}\rangle =-\alpha \langle xv\rangle$
\\n\\nComo\\n\\n
$\langle x\displaystyle\frac{dv}{dt}\rangle = \displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle-\langle v^2\rangle$
y con el teorema de equipartici n con
| $\displaystyle\frac{1}{2} m \langle v^2\rangle=\displaystyle\frac{3}{2} k_B T $ |
se tiene la ecuaci n con
| $m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$ |
(ID 9125)
Si se integra la ecuaci n con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and temperatura $K$
| $m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$ |
\\n\\nen el tiempo se obtiene con la condici n inicial\\n\\n
$\langle xv(0)\rangle=0$
se obtiene con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and temperatura $K$
| $ \langle x v \rangle(t) = \displaystyle\frac{3 k_B T }{ \alpha }(1-e^{- \alpha t / m })$ |
(ID 9744)
En el caso de tiempos largos las ecuaciones para la dispersi n con promedio de la posición al cuadrado $m^2$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and tiempo $s$
| $\displaystyle\frac{d}{dt}\langle x^2\rangle =2\langle xv\rangle$ |
y la ecuaci n de Langevin en la forma con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and temperatura $K$
| $m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$ |
llevan a que el cuadrado de la dispersi n sea proporcional al tiempo con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and temperatura $K$
| $\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$ |
(ID 9128)
La soluci n de dispersi n de las part culas con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición al cuadrado $m^2$, temperatura $K$ and tiempo $s$
| $\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$ |
se reduce en el limite en que
| $\langle x^2\rangle_0 =\displaystyle\frac{3k_BT}{4m}t^2$ |
(ID 9745)
La soluci n de dispersi n de las part culas con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición al cuadrado $m^2$, temperatura $K$ and tiempo $s$
| $\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$ |
se reduce en el limite en que
| $\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3k_BT}{2\alpha}t$ |
(ID 9746)
ID:(1139, 0)