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Diagrama en espacio momento-posición $p-q$
Descripción 
Una técnica para analizar el movimiento consiste en representar el momento en función de la posición de un cuerpo en movimiento. Esta representación nos permite estudiar cómo evoluciona el momento en relación con la posición alcanzada.
La representación del movimiento en el espacio momento-posición $p-q$ nos permite analizar la evolución del desplazamiento, resaltando los extremos en la posición y el momento.
En el caso de un movimiento periódico o cuando consideramos el trayecto de ida y vuelta, esto puede representarse de la siguiente manera:
Adicionalmente, se puede observar que el área encerrada por la curva
$\displaystyle\int_{q_1}^{q_2} p dq = \displaystyle\int_{v_1}^{v_2} m v dv = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2^2 - \displaystyle\frac{1}{2} m v_1^2$
corresponde a la energía del sistema.
El área encerrada por la curva en el diagrama momento-posición $p-q$ corresponde a la energía del sistema.
ID:(1240, 0)
Energía cinética en función del momento
Ecuación
La energía cinética de una masa $m$
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
puede expresarse en función del momento como
 $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
Dado que la energía cinética es igual a
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
y el momento es
| $ p = m_i v $ |
podemos expresarlo como
$K_t=\displaystyle\frac{1}{2} m_i v^2=\displaystyle\frac{1}{2} m_i \left(\displaystyle\frac{p}{m_i}\right)^2=\displaystyle\frac{p^2}{2m_i}$
es decir,
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
ID:(4425, 0)
Momento en función de la energía y función potencial
Ecuación
Si despejamos la energía en función del momento, obtenemos las expresiones para el momento positivo y negativo:
| $ p =\pm\sqrt{2 m ( E - U )}$ |
Dado que en general la energía es la suma de la energía cinética
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
y la energía potencial
$E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+U$
Si despejamos el momento, obtenemos la siguiente expresión:
| $ p =\pm\sqrt{2 m ( E - U )}$ |
ID:(4429, 0)
Partícula bajo aceleración gravitacional en representación $p-q$
Ecuación
Para el caso de una partícula en el campo gravitacional de la Tierra, la energía en función del momento $p$ y la posición $q$ es
| $ E =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+ m_g g q $ |
Como la energía cinética en función del momento es
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
y la energía potencial en función de la altura es
| $ V = m g z $ |
por lo que si expresamos la altura como la posición
$h = q$
obtenemos
| $ E =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+ m_g g q $ |
La ecuación puede ser escrita en forma adimensional de la siguiente manera
$y=\pm\sqrt{1-x}$
con
$x=\displaystyle\frac{q}{mg/E}$
, y
$y=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}$
lo cual se representa a continuación
ID:(4426, 0)
Oscilador armónico (resorte) en representación $p-q$
Ecuación
Para el caso de una masa oscilando con un resorte, la energía en función del momento $p$ y posición $q$ es
| $ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$ |
La energía cinética en función del momento está dada por
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
y la energía potencial en función de la altura se expresa como
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
Por lo tanto, si expresamos la elongación como la posición
$x = q$
obtenemos
| $ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$ |
La ecuación puede expresarse en forma adimensional como
$1=y^2 + x^2$
donde
$x=\displaystyle\frac{q}{\sqrt{2E/k}}$
, y
$y=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2m_iE}}$
resolviendo para
$y=\pm\sqrt{1-x^2}$
Su representación en el plano xy se muestra a continuación
ID:(1187, 0)
Masa en campo gravitacional en representación en $p-q$
Ecuación
Para el caso de una masa en un campo gravitacional, la energía en función del momento
| $ E_G = \displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i } - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ q }$ |
Dado que la energía cinética es
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
y la energía potencial es
| $ V = - \displaystyle\frac{ G m M }{ r } $ |
podemos expresar la energía en función del radio representado por la variable $q$ de la siguiente manera
| $ E_G = \displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i } - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ q }$ |
En el caso en que la energía cinética supere la energía potencial en el radio de inicio y la energía sea positiva (indicando que el objeto puede escapar del planeta), la ecuación se puede escribir como
$1 = \left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}\right)^2 - \displaystyle\frac{GmM}{Eq}$
lo cual simplifica a
$y=\pm\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}$
con
$x=\displaystyle\frac{q}{GmM/E}$
, y
$y=\displaystyle\frac{p}{2mE}$
En el caso en que la energía cinética no supere la energía potencial (indicando que el objeto no puede escapar de la atracción del planeta), la energía es negativa, y la expresión se escribe como
$1 = -\left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}\right)^2 + \displaystyle\frac{GmM}{Eq}$
donde $E$ es el valor absoluto de la energía. Con las definiciones de $x$ e $y", tenemos
$y=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-1}$
La ecuación se puede expresar en forma adimensional para el caso de energía positiva de la siguiente manera (curvas azules y verdes):
$y=\pm\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}$
Y para el caso de energía negativa, se expresa de la siguiente manera (curvas rojas y violetas):
$y=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-1}$
Donde
$x=\displaystyle\frac{q}{GmM/E}$
, y
$y=\displaystyle\frac{p}{2mE}$
Lo cual se representa a continuación:
ID:(1185, 0)
0
Video
Video: Espacio de fase