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Energía cinetica de rotación y momentos de inercia
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La energía cinética de rotación es una función de la velocidad angular alcanzada mediante la aplicación de un torque durante un cierto tiempo mientras se recorre un ángulo dado.Por lo tanto, la energía cinética rotacional es proporcional al momento de inercia del objeto y al cuadrado de la velocidad angular.
ID:(1417, 0)
Barra que rota en torno a un eje $\perp$
Imagen
Una barra de masa $m$ y longitud $l$ que gira alrededor de su centro, que coincide con el centro de masa:
ID:(10962, 0)
Cilindro que rota en torno a eje $\parallel$
Imagen
Una rotación de un cilindro con masa $m$ y radio $r$ alrededor del eje del cilindro, donde el centro de masa (CM) se encuentra a media altura:
ID:(10964, 0)
Cilindro que rota en torno a eje $\perp$
Imagen
En esta situación, un cilindro con masa $m$, radio $r$ y altura $h$ está girando alrededor de un eje que es perpendicular a su propio eje. Este eje pasa por el punto medio de la longitud del cilindro, donde se localiza el centro de masa (CM):
ID:(10965, 0)
Esfera
Imagen
Una esfera con masa $m$ y radio $r$ está girando alrededor de su centro de masa, el cual se encuentra en el centro de la esfera:
ID:(10490, 0)
Momento de inercia de paralelepípedo regular
Imagen
Un paralelepípedo rectángulo con masa $m$, lados $a$ y $b$, y perpendicular al eje de rotación, está girando alrededor de su centro de masa, que se encuentra en el centro geométrico del cuerpo:
ID:(10973, 0)
Paralelepípedo recto
Imagen
Para un paralelepípedo recto con masa $m$ y lado $a$, el centro de masa se encuentra en el centro geométrico:
ID:(10963, 0)
Momento de inercia
Descripción
En la dinámica rotacional, el momento de inercia cumple el rol equivalente al de la masa inercial en la traslación. Sin embargo, a diferencia de la masa, el momento de inercia depende de la geometría del cuerpo y de cómo se distribuye su masa con respecto al eje de rotación. Por ello, su cálculo es imprescindible para cada caso que se pretenda modelar.
Variables
Cálculos
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Ecuaciones
La variación del trabajo ($\Delta W$) necesaria para que un objeto cambie de la velocidad angular inicial ($\omega_0$) a la velocidad angular ($\omega$) se obtiene aplicando un el torque ($T$) que produce un desplazamiento angular la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$), según:
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación, en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):
| $ T = I \alpha $ |
esta expresión puede reescribirse como:
$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$
o, utilizando la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
obtenemos:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$
Si utilizamos la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
resulta:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$
donde la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se expresa como:
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
Por otro lado, la velocidad angular puede aproximarse mediante la velocidad angular promedio:
$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$
Combinando ambas expresiones, se obtiene la ecuación:
$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$
Por lo tanto, el cambio en la energía se expresa como:
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Lo que nos permite definir la energía cinética rotacional como:
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
El momento de inercia de una barra en rotaci n alrededor de un eje perpendicular ($\perp$) que pasa por el centro se obtiene al dividir el cuerpo en peque os vol menes y sumarlos:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
lo que resulta en
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$ |
.
(ID 4432)
El momento de inercia de un paralelep pedo en rotaci n alrededor de un eje que pasa por el centro se obtiene al dividir el cuerpo en peque os vol menes y luego sumarlos:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
esto da como resultado
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$ |
.
(ID 4433)
El momento de inercia de un cilindro que rota alrededor de un eje paralelo ($\parallel$) que pasa por el centro se calcula al dividir el cuerpo en peque os vol menes y sumarlos:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
lo que resulta en
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$ |
.
(ID 4434)
El momento de inercia de un cilindro que gira alrededor de un eje perpendicular ($\perp$) que pasa por el centro se calcula al dividir el cuerpo en peque os vol menes y sumarlos:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
lo que resulta en
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r_c ^2)$ |
.
(ID 4435)
El momento de inercia de una esfera en rotaci n alrededor de un eje que atraviesa su centro se obtiene mediante la segmentaci n del cuerpo en peque os vol menes y sumando:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
lo que resulta en
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$ |
.
(ID 4436)
Ejemplos
(ID 15604)
Una barra de masa $m$ y longitud $l$ que gira alrededor de su centro, que coincide con el centro de masa:
(ID 10962)
Una rotaci n de un cilindro con masa $m$ y radio $r$ alrededor del eje del cilindro, donde el centro de masa (CM) se encuentra a media altura:
(ID 10964)
En esta situaci n, un cilindro con masa $m$, radio $r$ y altura $h$ est girando alrededor de un eje que es perpendicular a su propio eje. Este eje pasa por el punto medio de la longitud del cilindro, donde se localiza el centro de masa (CM):
(ID 10965)
Una esfera con masa $m$ y radio $r$ est girando alrededor de su centro de masa, el cual se encuentra en el centro de la esfera:
(ID 10490)
Un paralelep pedo rect ngulo con masa $m$, lados $a$ y $b$, y perpendicular al eje de rotaci n, est girando alrededor de su centro de masa, que se encuentra en el centro geom trico del cuerpo:
(ID 10973)
Para un paralelep pedo recto con masa $m$ y lado $a$, el centro de masa se encuentra en el centro geom trico:
(ID 10963)
(ID 15606)
ID:(1417, 0)