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Teorema de Noether
Descripción
En 1915, Emmy Noether descubrió una relación fundamental entre las simetrías y las conservaciones en la física. Siempre que un sistema sea invariante ante cambios en una variable particular, existe una conservación correspondiente de otra variable asociada.
Particularmente destacan las simetrías en:
• El tiempo (conservación de la energía),
• La traslación (conservación del momento), y
• La rotación (conservación del momento angular).
ID:(59, 0)
Invariante en el tiempo
Ecuación
La invariancia (=no cambia) con respecto al tiempo significa que algo no cambia a medida que el tiempo pasa. En otras palabras, si algo ocurre de cierta manera hoy, ocurrirá de la misma manera mañana.
La invariancia con respecto al tiempo está relacionada con la conservación de la energía. Esto implica que la suma de todas las energías será igual a la energía total presente al principio:
 $ E_0 = \displaystyle\sum_i E_i$ |
Un ejemplo es un objeto en un campo gravitacional que siempre muestra el mismo comportamiento, lo que significa que el campo gravitacional no disipa energía de los objetos que se mueven en él.
ID:(1177, 0)
Invariante en la posición
Ecuación
La invariancia de traslación espacial significa que no importa dónde realicemos un experimento. Si podemos trasladar el experimento en una dirección sin que cambie lo que ocurre, hablamos de que en esa dirección existe invariancia de traslación. Cuando existe invariancia de traslación, se conserva el momento. Matemáticamente, esto se expresa como que la suma de los momentos siempre es igual al momento total inicial:
| $ p_0 = \displaystyle\sum_i p_i$ |
Un ejemplo es la invariancia de traslación que existe en la superficie de la Tierra. Mientras no cambie la altitud, un experimento realizado en el hemisferio sur o norte dará el mismo resultado. En otras palabras, existe invariancia de traslación en los ejes $x$ e $y$ si están definidos en la superficie del planeta. La situación es diferente en cuanto a la altitud, ya que la fuerza gravitacional varía y eso afecta el desarrollo de los experimentos. La consecuencia de la simetría de traslación en la superficie del planeta es que se conserva el momento. Si la masa no cambia, esto implica que la velocidad se mantiene constante.
ID:(12573, 0)
Invariante en la posición (vector)
Ecuación
La conservación del momento, que se introdujo inicialmente para una dimensión
| $ p_0 = \displaystyle\sum_i p_i$ |
se puede generalizar a más dimensiones
| $ \vec{p}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{p}_i $ |
Dado que la conservación para una dimensión es
| $ p_0 = \displaystyle\sum_i p_i$ |
si existe invariancia en las demás dimensiones, se puede generalizar para cada dimensión
$\vec{p}0=(p_x,p_y,p_z)=\left(\displaystyle\sum_i p{i,x},\displaystyle\sum_i p_{i,x},\displaystyle\sum_i p_{i,x}\right)=\displaystyle\sum_i (p_{i,x},p_{i,y},p_{i,z})=\displaystyle\sum_i \vec{p}_i$
por lo que
| $ \vec{p}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{p}_i $ |
En muchos casos, la invariancia se da en una de las dimensiones y no en las restantes. En tales casos, no se puede generalizar la relación unidimensional a la totalidad de las dimensiones.
ID:(1178, 0)
Invariante en el ángulo
Ecuación
La invariancia de la rotación significa que podemos girar un experimento y su desarrollo no cambiará. Un ejemplo es un satélite que gira alrededor de la Tierra. Para él, la situación no varía si lo desplazamos un cierto número de grados o realizamos el experimento en el punto en el que se encuentra.
La invariancia de la rotación está relacionada con la conservación del momento angular. Esto se puede expresar matemáticamente mediante la suma de todos los momentos angulares, que será igual al momento angular inicial:
| $ L_0 = \displaystyle\sum_i L_i $ |
El ejemplo clásico de esta conservación se observa en el caso de una bailarina que modifica su momento de inercia al encoger o extender los brazos. Si el momento de inercia disminuye, la velocidad angular aumenta y viceversa.
ID:(7103, 0)
Invariante en el angulo (vector)
Ecuación
La conservación del momento angular, que se introdujo para una dimensión
| $ L_0 = \displaystyle\sum_i L_i $ |
se puede generalizar a más dimensiones
| $ \vec{L}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{L}_i $ |
Dado que la conservación para una dimensión es
| $ L_0 = \displaystyle\sum_i L_i $ |
si existe invariancia en las demás dimensiones, se puede generalizar para cada dimensión
$\vec{L}0=(L_x,L_y,L_z)=\left(\displaystyle\sum_i L{i,x},\displaystyle\sum_i L_{i,x},\displaystyle\sum_i L_{i,x}\right)=\displaystyle\sum_i (L_{i,x},L_{i,y},L_{i,z})=\displaystyle\sum_i \vec{L}_i$
por lo tanto
| $ \vec{L}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{L}_i $ |
En muchos casos, la invariancia se presenta en una de las dimensiones y no en las demás. En tales casos, no es posible generalizar la relación unidimensional al conjunto de las dimensiones.
ID:(1179, 0)
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Video
Video: Conservaciones