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Noether-Theorem
Beschreibung
Im Jahr 1915 entdeckte Emmy Noether eine grundlegende Beziehung zwischen Symmetrien und Erhaltungsgesetzen in der Physik. Immer wenn ein System invariant gegenüber Änderungen einer bestimmten Variablen ist, gibt es eine entsprechende Erhaltung einer anderen zugehörigen Variable.
Besonders interessant sind die Symmetrien in:
• Der Zeit (Erhaltung der Energie),
• Der Translation (Erhaltung des Impulses) und
• Der Rotation (Erhaltung des Drehimpulses).
ID:(59, 0)
Zeitinvariant
Gleichung
Invarianz (=keine Veränderung) in Bezug auf die Zeit bedeutet, dass etwas sich nicht verändert, während die Zeit vergeht. Mit anderen Worten, wenn etwas heute auf eine bestimmte Weise geschieht, wird es morgen genauso geschehen.
Die Zeitinvarianz ist mit der Energieerhaltung verbunden. Das bedeutet, dass die Summe aller Energien gleich der Gesamtenergie ist, die am Anfang vorhanden ist:
 $ E_0 = \displaystyle\sum_i E_i$ |
Ein Beispiel dafür ist ein Objekt in einem Gravitationsfeld, das immer das gleiche Verhalten zeigt. Dies bedeutet, dass das Gravitationsfeld keine Energie von sich bewegenden Objekten darin abgibt.
ID:(1177, 0)
Positionsinvariante
Gleichung
Die Invarianz der räumlichen Translation bedeutet, dass es keine Rolle spielt, wo wir ein Experiment durchführen. Wenn wir das Experiment in einer Richtung verschieben können, ohne dass sich das Ergebnis ändert, sprechen wir von einer Invarianz der Translation in dieser Richtung. Wenn eine räumliche Translation invariant ist, wird der Impuls erhalten. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies, dass die Summe der Impulse immer gleich dem ursprünglichen Gesamtimpuls ist:
| $ p_0 = \displaystyle\sum_i p_i$ |
Ein Beispiel dafür ist die Invarianz der Translation, die auf der Erdoberfläche besteht. Solange sich die Höhe nicht ändert, wird ein Experiment, das auf der südlichen oder nördlichen Hemisphäre durchgeführt wird, das gleiche Ergebnis liefern. Mit anderen Worten besteht eine Invarianz der Translation in den Achsen $x$ und $y$, wenn sie auf der Oberfläche des Planeten definiert sind. Die Situation ist in Bezug auf die Höhe unterschiedlich, da die Gravitationskraft variiert und dies den Verlauf der Experimente beeinflusst. Die Konsequenz der Translationssymmetrie auf der Oberfläche des Planeten ist, dass der Impuls erhalten bleibt. Wenn die Masse konstant bleibt, bedeutet dies, dass die Geschwindigkeit konstant bleibt.
ID:(12573, 0)
Positionsinvariante (Vektor)
Gleichung
Die Erhaltung des Impulses, die ursprünglich für eine Dimension eingeführt wurde
| $ p_0 = \displaystyle\sum_i p_i$ |
kann auf mehr Dimensionen verallgemeinert werden
| $ \vec{p}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{p}_i $ |
Da die Erhaltung für eine Dimension gilt
| $ p_0 = \displaystyle\sum_i p_i$ |
kann sie auf weitere Dimensionen verallgemeinert werden
| $ \vec{p}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{p}_i $ |
In vielen Fällen tritt die Invarianz in einer Dimension auf und nicht in den anderen. In solchen Fällen kann die eindimensionale Beziehung nicht auf alle Dimensionen verallgemeinert werden.
In vielen Fällen tritt die Invarianz in einer Dimension auf und nicht in den anderen. In solchen Fällen kann die eindimensionale Beziehung nicht auf alle Dimensionen verallgemeinert werden.
ID:(1178, 0)
Winkelinvariant
Gleichung
Die Rotationsinvarianz bedeutet, dass wir ein Experiment drehen können und sich sein Verlauf nicht ändert. Ein Beispiel ist ein Satellit, der sich um die Erde dreht. Für ihn ändert sich die Situation nicht, wenn wir ihn um eine bestimmte Anzahl von Grad verschieben oder das Experiment an einem anderen Punkt durchführen.
Die Rotationsinvarianz steht im Zusammenhang mit der Erhaltung des Drehimpulses. Dies kann mathematisch durch die Summe aller Drehimpulse ausgedrückt werden, die gleich dem anfänglichen Drehimpuls ist:
| $ L_0 = \displaystyle\sum_i L_i $ |
Ein klassisches Beispiel für diese Erhaltung zeigt sich im Fall einer Tänzerin, die ihr Trägheitsmoment verändert, indem sie ihre Arme ausstreckt oder zusammenzieht. Wenn das Trägheitsmoment abnimmt, erhöht sich die Winkelgeschwindigkeit und umgekehrt.
ID:(7103, 0)
Winkelinvariante (Vektor)
Gleichung
Die Erhaltung des Drehimpulses, die für eine Dimension eingeführt wurde
| $ L_0 = \displaystyle\sum_i L_i $ |
kann auf mehr Dimensionen verallgemeinert werden
| $ \vec{L}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{L}_i $ |
Da die Erhaltung für eine Dimension gilt
| $ L_0 = \displaystyle\sum_i L_i $ |
wenn in den anderen Dimensionen Invarianz vorliegt, kann sie für jede Dimension verallgemeinert werden
$\vec{L}0=(L_x,L_y,L_z)=\left(\displaystyle\sum_i L{i,x},\displaystyle\sum_i L_{i,x},\displaystyle\sum_i L_{i,x}\right)=\displaystyle\sum_i (L_{i,x},L_{i,y},L_{i,z})=\displaystyle\sum_i \vec{L}_i$
somit
| $ \vec{L}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{L}_i $ |
In vielen Fällen tritt die Invarianz in einer der Dimensionen auf und nicht in den anderen. In solchen Fällen ist es nicht möglich, die eindimensionale Beziehung auf alle Dimensionen zu verallgemeinern.
ID:(1179, 0)
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Video
Video: Konservierungen