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ID:(1428, 0)

Definição

ID:(15492, 0)

Imagem

Se uma pequena esfera de raio $a$ é deixada cair em um meio com viscosidade $\eta$, ela acelerará até que a força gravitacional,

$mg=\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_sg$

onde $\rho_s$ é a densidade do material da esfera, seja igualada pela força viscosa,

$6\pi \eta a v$

sendo $v$ a velocidade.

Portanto, é possível estimar a viscosidade do meio medindo a velocidade, uma vez que a equação é satisfeita:

$\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_sg =6\pi \eta a v$

onde o raio pode ser medido diretamente.

Aqui você pode observar o comportamento da esfera:

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Nota

Isso significa que à medida que a coluna vai esvaziando e a altura $h$ diminui, a velocidade $v$ também diminui de forma proporcional.

Os parâmetros-chave são:

• Diâmetro interno do recipiente: 93 mm

• Diâmetro interno do canal de evacuação: 3 mm

• Comprimento do canal de evacuação: 18 mm

Esses parâmetros são importantes para compreender e analisar o processo de esvaziamento da coluna e como a velocidade de saída varia com a altura.

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Citar

Si analisarmos a equação



que descreve a aplicação de Hagen-Poiseuille, podemos observar que a curva só se ajusta aos dados experimentais nos seguintes casos:

A velocidade é baixa (quando a coluna está quase vazia)
O raio do canal de evacuação deve ser reduzido de 1,5 mm para 0,6 mm.

Isso indica que o fluxo é principalmente turbulento e que apenas em níveis de baixa velocidade a velocidade é suficientemente baixa para que o número de Reynolds seja baixo o suficiente para que o fluxo seja laminar.

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Exercício

Observando o percurso percorrido pela esfera ao longo do tempo, podemos ver que em grande parte ela se move a uma velocidade constante de cerca de 0,31 metros em 25 segundos, ou seja, 0,0124 m/s.

Ao rearranjarmos a igualdade entre a força gravitacional e a força de resistência de Stokes:

$\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_sg =6\pi \eta a v$

obtemos:

$\eta = \displaystyle\frac{2 a^2\rho_sg}{9 v}$

Considerando que a esfera tem um raio de 2 mm e pesa 8 mg, podemos determinar sua densidade como sendo aproximadamente $\rho_s\sim 2,38 g/cm^3$. Com isso, obtemos que a viscosidade é aproximadamente $\eta\sim 1,67 Pas$.

ID:(9881, 0)

Equação

ID:(15494, 0)

Script

Vamos considerar o sistema de um balde cilíndrico com um orifício de drenagem. Quando o tampão é removido, a água começa a fluir de acordo com a pressão existente. De acordo com o princípio de Bernoulli, dentro do balde ($v\sim 0$), a velocidade é zero, e temos:

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \rho g h$

enquanto fora do balde ($h=0$), apenas a componente cinética existe:

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$

Como ambas as expressões são iguais, temos:

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2=\rho g h$

o que nos dá a velocidade como:

$v=\sqrt{2 g h}$

Para comparar com o experimento, podemos usar essa expressão para estimar, com:



a distância que o jato de água deveria percorrer. Se plotarmos graficamente, observamos:

onde:

• os pontos vermelhos correspondem às medições experimentais,

• os pontos azuis correspondem à distância calculada usando um fator de 0,11,

• os pontos transparentes correspondem à distância calculada usando um fator de 0,09.

Portanto, podemos concluir que o modelo de Bernoulli superestima a velocidade com que o balde se esvazia. Isso ocorre porque na região do orifício de drenagem, os efeitos da viscosidade não são negligenciáveis, e, portanto, a velocidade é menor.

ID:(11063, 0)