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ID:(1428, 0)

Définition

ID:(15492, 0)

Image

Si une petite sphère de rayon $a$ est laissée tomber dans un milieu de viscosité $\eta$, elle accélérera jusqu'à ce que la force gravitationnelle,

$mg=\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_sg$

où $\rho_s$ est la densité du matériau de la sphère, soit équilibrée par la force visqueuse,

$6\pi \eta a v$

où $v$ est la vitesse.

Il est donc possible d\'estimer la viscosité en mesurant la vitesse, car l\'équation suivante est vérifiée :

$\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_sg =6\pi \eta a v$

où le rayon peut être mesuré directement.

Ici, vous pouvez observer le comportement de la sphère :

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Noter

Cela signifie qu'à mesure que la colonne se vide et que la hauteur $h$ diminue, la vitesse $v$ diminue également de manière proportionnelle.

Les paramètres clés sont :

• Diamètre intérieur du récipient : 93 mm

• Diamètre intérieur du canal d'évacuation : 3 mm

• Longueur du canal d\'évacuation : 18 mm

Ces paramètres sont importants pour comprendre et analyser le processus de vidage de la colonne et comment la vitesse de sortie varie avec la hauteur.

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Citation

Si nous analysons l'équation



qui décrit l\'application de Hagen-Poiseuille, nous constatons que la courbe ne correspond qu\'aux données expérimentales dans les cas suivants :

La vitesse est faible (lorsque la colonne est presque vide).

Le rayon du canal d\'évacuation doit être réduit de 1,5 mm à 0,6 mm.

Cela montre que l\'écoulement est principalement turbulent et que seule à des niveaux de faible vitesse, la vitesse est suffisamment basse pour que le nombre de Reynolds soit faible et que l\'écoulement soit laminaire.

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Exercer

Si nous observons le trajet parcouru par la petite bille au fil du temps, nous pouvons constater qu'elle se déplace principalement à une vitesse constante d\'environ 0,31 mètres en 25 secondes, ce qui équivaut à 0,0124 m/s.

En réarrangeant l\'égalité entre la force gravitationnelle et la force de résistance de Stokes :

$\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_sg =6\pi \eta a v$

nous obtenons :

$\eta = \displaystyle\frac{2 a^2\rho_sg}{9 v}$

En supposant que la bille a un rayon de 2 mm et pèse 8 mg, nous pouvons déterminer sa densité à environ $\rho_s\sim 2,38 g/cm^3$. Par conséquent, la viscosité est estimée à environ $\eta\sim 1,67 Pa s$.

ID:(9881, 0)

Équation

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Script

Considérons le système d'un seau cylindrique avec un trou de drainage. Lorsque le bouchon est retiré, l'eau commence à s\'écouler en fonction de la pression existante. Selon le principe de Bernoulli, à l'intérieur du seau ($v\sim 0$), la vitesse est nulle, et nous avons :

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \rho g h$

tandis qu\'à l\'extérieur du seau ($h=0$), seule la composante cinétique existe :

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$

Comme les deux expressions sont égales, nous avons :

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2=\rho g h$

ce qui donne la vitesse comme :

$v=\sqrt{2 g h}$

Pour comparer avec l\'expérience, nous pouvons utiliser cette expression pour estimer, avec :



la portée que le jet d\'eau devrait avoir. Si nous le représentons graphiquement, nous observons :

où :

• les points rouges correspondent aux mesures expérimentales,

• les points bleus correspondent à la portée calculée en utilisant un facteur de 0,11,

• les points transparents correspondent à la portée calculée en utilisant un facteur de 0,09.

Par conséquent, nous pouvons conclure que le modèle de Bernoulli surestime la vitesse à laquelle le seau se vide. Cela est dû au fait que dans la région du trou de drainage, les effets de la viscosité ne sont pas négligeables, et donc la vitesse est plus faible.

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