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Elastische Querverformung

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Wenn ein Drehmoment auf die Oberfläche eines Körpers ausgeübt wird, entsteht gleichzeitig ein Bereich, in dem das Material komprimiert wird, und ein anderer Bereich, in dem es sich ausdehnt. Dies führt zu einer Bewegung, die senkrecht zum Normalenvektor der Oberfläche verläuft. Dieses Phänomen wird als Querdeformation bezeichnet.

>Modell

ID:(2064, 0)

Elastische Querverformung

Storyboard

Variablen

Symbol

Text

Variable

Wert

Einheiten

Berechnen

MKS-Wert

MKS-Einheiten

$\tau$

tau

Drehmoment

$\gamma$

gamma

Drehwinkel

rad

$E$

Elastizitätsmodul

$\nu$

Poisson Koeffizient

$G$

Schermodul

$\gamma_3$

gamma_3

Scherwinkel in der $xy$-Ebene

rad

$\gamma_1$

gamma_1

Scherwinkel in der $yz$-Ebene

rad

$\gamma_2$

gamma_2

Scherwinkel in der $zx$-Ebene

rad

$\sigma_1$

sigma_1

Spannung auf der Achse $x$

$\sigma_2$

sigma_2

Spannung auf der Achse $y$

$\sigma_3$

sigma_3

Spannung auf der Achse $z$

$\tau_1$

tau_1

Torsion in der $x$-Achse

$\tau_2$

tau_2

Torsion in der $y$-Achse

$\tau_3$

tau_3

Torsion in der $z$-Achse

$\epsilon_1$

e_1

Verformung der Koordinate $x$

$\epsilon_2$

e_2

Verformung des Koordinaten $y$

$\epsilon_3$

e_3

Verformung des Koordinaten $z$

$W$

Verformungsenergie

$w$

Verformungsenergiedichte

J/m^3

$V$

Volumen

m^3

Berechnungen

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen:

, dann die Variable auswählen:

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable

Gegeben

Berechnen

Ziel :

Gleichung

Zu verwenden

Gleichungen

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) +\displaystyle\frac{1}{2} V G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)$

W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)

$ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+\displaystyle\frac{1}{2 G } V ( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)$

W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G )

$ w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) \displaystyle\frac{1}{2} G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)$

w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2

$ w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+ \displaystyle\frac{1}{2 G }( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)$

w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2

$ \tau = G \gamma $

tau = G * gamma

$ E =2 G (1+ \nu )$

E =2* G *(1+ nu )

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V G \gamma ^2$

W = V * G * g^2/2

$ W =\displaystyle\frac{1}{2 G } V \tau ^2$

W = V * t ^2/(2* G )

Beispiele

Mechanismen

mechanisms

Modell

model

Hooke Gesetz f r den Scher Fall

Bei Scherung geht die Verformung nicht mit einer Dehnung oder Stauchung einher, sondern mit einem seitlichen Versatz der W rfelfl chen. Die Scherung wird daher durch den Winkel \gamma beschrieben, mit dem es m glich ist, die Fl che senkrecht zu den verschobenen Fl chen zu drehen. In Analogie zum Hook'schen Gesetz f r Stauchung und Dehnung haben wir den Zusammenhang zwischen Torsion \tau und Winkel \gamma:

kyon

wobei G der sogenannte Schubmodul ist.

Schubmodul

Der Schubmodul G h ngt mit dem Elastizit tsmodul E und der Querkontraktionszahl
u zusammen

kyon

wobei G der sogenannte Schubmodul ist.

Scherenergie

Analog zur Dehnungsenergie ist die Scherenergie proportional zum Quadrat des Scherwinkels \gamma, wobei die Konstante in diesem Fall der Schubmodul ist:

kyon

Energie Scheren und Torsion

Da die Dehnungsenergie ist

$W=\displaystyle\frac{1}{2}VG\gamma^2$

mit dem Hookschen Gesetz f r Materialien

$\tau=G\gamma$

erh lt man:

kyon

Verformung und Scherenergie

Das Verh ltnis von Energie W, Volumen V, Elastizit tsmodul E und Dehnung \epsilon

$W=\displaystyle\frac{1}{2}VE\epsilon^2$

und die Scherenergie mit Winkel \gamma und Schubmodul

$W=\displaystyle\frac{1}{2}VG\gamma^2$

l sst sich auf den dreidimensionalen Fall verallgemeinern:

kyon

wobei \epsilon_i die Verformung in jeder Achse darstellt.

Spannung und Torsion Energie

Mit dem Zusammenhang von Energie W, Volumen V, Elastizit tsmodul E und Verformungen \epsilon_i

$W=\displaystyle\frac{1}{2}VE(\epsilon_1^2+\epsilon_2^2+\epsilon_3^2)$

und Hooksches Gesetz f r kontinuierliches Material

$\sigma_i=E\epsilon_i$

Energie kann als Funktion der Spannung geschrieben werden

kyon

wobei \epsilon_i die Verformung in jeder Achse darstellt.

Dehnungsenergiedichte und Scher

Da die Energie W ist

equation=3766

wobei V das Volumen, E der Elastizit tsmodul und \epsilon_i die Dehnung ist, kann die Energiedichte berechnet werden

equation=3770

Also hat man:

kyon

wobei \epsilon_i die Verformung in jeder Achse darstellt.

Energiedichte Spannung und Torsion

Da die Energie W ist

equation=3767

wobei V das Volumen, E der Elastizit tsmodul und \sigma_i die Spannung ist, kann die Energiedichte berechnet werden

equation=3770

Also hat man:

kyon

wobei \epsilon_i die Verformung in jeder Achse darstellt.

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