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Modelo de Gas Ideal
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En base a el conteo de estados se pueden calcular algunas de las propiedades termodinámicas de un gas ideal.

>Modelo

ID:(446, 0)


Función partición de un gas ideal
Definición

ID:(10628, 0)


Modelo de Gas Ideal
Descripción

En base a el conteo de estados se pueden calcular algunas de las propiedades termodinámicas de un gas ideal.

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
$k_B$
k_B
Constante de Boltzmann
J/K
$\gamma$
gamma
Constante de la Entropía
-
$C$
C
Constante de Normalización
-
$h$
h
Constante de Planck
Js
$U$
U
Energía interna
J
$U$
U
Energía Interna
J
$S$
S
Entropía
J/K
$S$
S
Entropia
J/K
$M$
M
Masa
kg
$n$
n
Número de Moles
-
$N$
N
Número de partículas
-
$N$
N
Número de Particulas
-
$N$
N
Numero de Partículas
-
$p$
p
Presión
Pa
$T$
T
Temperatura absoluta
K
$V$
V
Volumen
m^3
$V$
V
Volumen
m^3

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

Si empleamos el numero de estados para el caso de un gas ideal tendremos que el numero de estados es con

$ \Omega = \Omega_0 \left(\displaystyle\frac{2 m }{ h ^2}\right)^{3 N /2} V ^ N E ^{3N/2}$

\\n\\ncon N el numero de part culas, V el volumen, E la energ a, m la masa de la part cula y h la constante de Planck.\\n\\nSi calculamos el logaritmo del numero de estados y luego diferenciamos se obtiene\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial \ln\Omega}{\partial V}=\displaystyle\frac{N}{V}$



por lo que se obtiene con :

$ \bar{p} =\displaystyle\frac{ N }{ V } k_B T $

(ID 3447)

La constante de Boltzmann k_B representa un tipo de capacidad cal rica microsc pica. Su s mil macrosc pico es la constante universal de los gases R que considera el n mero de part culas contenidas en un mol. Por ello la relaci n entre la constante universal de los gases, el n mero de Avogadro y la constante de Boltzmann esta dado por:

$ R_C = N_A k_B $

(ID 3747)

Para la presi n p la ecuaci n de los gases se escribe con numero de Partículas $-$, presión $Pa$, temperatura absoluta $K$ y volumen $m^3$ como

$ \bar{p} =\displaystyle\frac{ N }{ V } k_B T $

\\n\\nEl n mero de part culas puede ser escrito en funci n del n mero de moles mediante\\n\\n

$N=nN_A$



donde N_A es el n mero de Avogadro. Con la definici n de la constante universal de los gases con

$ R_C = N_A k_B $



se obtiene la forma tradicional de la ecuaci n de los gases con

$ p V = n R_C T $

(ID 3745)

Como la entrop a S se define como la constante de Boltzmann k_B por el logaritmo natural del n mero de estados se tiene con

$ S \equiv k_B \ln \Omega $

\\n\\nse puede estimar para un gas ideal su entrop a. Como el n mero de estados de un gas ideal es\\n\\n

$\Omega(E)=\left(B\left(\displaystyle\frac{2m}{h^2}\right)^{3/2}V E^{3/2}\right)^N$



con V el volumen, E la energ a y N el n mero de part culas se tiene que con

$ S = N k_B \left(\displaystyle\frac{3}{2}\ln\displaystyle\frac{ U }{ N }+\ln\displaystyle\frac{ V }{ N }+ \ln \gamma \right)$

donde \gamma es una constante asociada a la normalizaci n de la funci n de n mero de estados.

Nota: la entrop a ha sido corregida en la energ a y en el volumen por un factor 1/N de modo que esta sea extensible. Dicho factor se puede obtener directamente del n mero de estados \Omega en la medida que se asume que las part culas son indistinguibles y se requiere incluir todas las permutaciones posibles. Para mayores detalles puede consultarse la llamada paradoja de Gibbs.

(ID 3751)

La constante \gamma corresponde al factor de normalizaci n que permite transformar el espacio de fase en numero de estados. En este caso se tiene con que

$ \gamma = B \left(\displaystyle\frac{2 m }{ h ^2}\right)^{3/2}$

(ID 3752)

La expresi n de la entrop a del gas ideal con constante de la Entropía $-$, energía interna $J$, entropía $J/K$, número de partículas $-$ y volumen $m^3$

$ S = N k_B \left(\displaystyle\frac{3}{2}\ln\displaystyle\frac{ U }{ N }+\ln\displaystyle\frac{ V }{ N }+ \ln \gamma \right)$



con lo que constante se puede reescribir con constante de la Entropía $-$, energía interna $J$, entropía $J/K$, número de partículas $-$ y volumen $m^3$ como

$ S = N k_B \ln\left(\left(\displaystyle\frac{ U }{ N }\right)^{3/2}\displaystyle\frac{ V }{ N } \gamma \right)$

(ID 4807)

ID:(446, 0)