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Función Partición Gas Ideal
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Una aplicación simple de la función partición se logra estudiando el caso de un gas ideal.
ID:(177, 0)
Función partición del gas ideal
Ecuación
La función partición de un gas ideal se calcula del integral sobre la gaussiana del momento y las integrales sobre el volumen\\n\\n
$Z=\displaystyle\frac{1}{h^{3N}}\int\prod_id^3p_i\prod_id^3q_ie^{-\beta E}=\displaystyle\frac{1}{h^{3N}}\int\prod_id^3p_i\prod_id^3q_ie^{-\beta \sum_ip_i^2/2m}$
\\n\\ncon
$V^N$
\\n\\ny la integral sobre la gauseanas del momento es\\n\\n
$\displaystyle\int_{\infty}^{\infty}dp,e^{-\beta p^2/2m}=\sqrt{\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}}$
Por ello la función partición de un gas ideal es con
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N }}\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2} V ^ N $ |
ID:(819, 0)
Energía interna de un gas ideal
Ecuación
La energía interna es con
| $U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$ |
Como la función partición de un gas ideal es con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N }}\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2} V ^ N $ |
se puede calcular la derivada del logaritmo de la función partición respecto del volumen es con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$ igual a
| $ E =\displaystyle\frac{3 N }{2 \beta }$ |
ID:(7983, 0)
Coeficiente de compresibilidad isotérmica de un gas ideal
Ecuación
Como la compresibilidad es con
| $\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$ |
Como la función partición de un gas ideal con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$ es
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N }}\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2} V ^ N $ |
\\n\\nse puede calcular la derivada del logaritmo de la función partición respecto del volumen obteniéndose\\n\\n
$\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z}{\partial V^2}=-\displaystyle\frac{N}{V^2}$
\\n\\nPor ello la compresibilidad de un gas ideal es\\n\\n
$\displaystyle\frac{1}{ k_p }=\displaystyle\frac{N}{\beta V}=\displaystyle\frac{Nk_BT}{V}$
\\n\\no sea que con la ecuación de los gases\\n\\n
$pV=k_BNT$
se obtiene con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$
| $ k_p =\displaystyle\frac{1}{ p }$ |
ID:(4762, 0)
Coeficiente de dilatación térmica de un gas ideal
Ecuación
Como la compresibilidad es\\n\\n
$k_T=\displaystyle\frac{k_p}{V}\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z}{\partial V^2}$
Como la función partición de un gas ideal es con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N }}\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2} V ^ N $ |
\\n\\nse puede calcular la derivada del logaritmo de la función partición respecto del volumen obteniéndose\\n\\n
$\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z}{\partial V^2}=-\displaystyle\frac{N}{V^2}$
\\n\\ny con ello se obtiene la constante de dilatación permita como\\n\\n
$k_T=\displaystyle\frac{k_p}{V}\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{N}{V^2}=\displaystyle\frac{k_p V}{N}$
\\n\\nComo es un gas ideal se tiene que\\n\\n
$k_p=\displaystyle\frac{1}{p}$
\\n\\ny con la ecuación de los gases\\n\\n
$pV=Nk_BT$
se tiene finalmente que con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$ es
| $ k_T =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
ID:(4763, 0)
Capacidad calórica a volumen constante de un gas ideal
Ecuación
La capacidad calórica es con
| $ C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$ |
Como la función partición de un gas ideal es con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N }}\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2} V ^ N $ |
se obtiene que para el caso de un gas ideal con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$
| $ C_V =\displaystyle\frac{3 N k_B }{2}$ |
ID:(4759, 0)
Capacidad calórica a presión constante de un gas ideal
Ecuación
Para calcular la capacidad calórica para presión constante se puede empelar la relación con
| $ C_V = C_p - V T \displaystyle\frac{ k_T ^2}{ k_p }$ |
Como la dilatación térmica es con dilatación térmica $1/K$ y temperatura $K$
| $ k_T =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
la compresibilidad es con compresibilidad isotermica $1/Pa$ y presión $Pa$
| $ k_p =\displaystyle\frac{1}{ p }$ |
la capacidad calórica bajo volumen constante con capacidad calorica a volumen constante $J/K$, constante de Boltzmann $J/K$ y numero de partículas $-$
| $ C_V =\displaystyle\frac{3 N k_B }{2}$ |
y la ecuación de los gases con
| $ p =\displaystyle\frac{ N k_B T }{ V }$ |
se tiene que con
| $ C_p = \displaystyle\frac{5 N k_B }{2}$ |
ID:(4766, 0)
Velocidad del sonido de un gas ideal
Ecuación
El cuadrado de la velocidad del sonido es con igual a
| $ c ^2=\displaystyle\frac{1}{ \kappa \rho }$ |
por lo que con la compresibilidad de un gas ideal es con compresibilidad isotermica $1/Pa$ y presión $Pa$
| $ k_p =\displaystyle\frac{1}{ p }$ |
se tiene que la velocidad del sonido al cuadrado es con compresibilidad isotermica $1/Pa$ y presión $Pa$
| $ c ^2=\displaystyle\frac{ p }{ \rho }$ |
ID:(7982, 0)
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