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Distribuciones de Poisson

Storyboard

En el caso en que la probabilidad es muy pequeña la distribución binomial se reduce a una distribución de Poisson.

>Modelo

ID:(1555, 0)

Ejemplo comparación con distribución de Poisson

Definición

Si se estudia la distribución binomial para números grandes N y probabilidad muy pequeña p\ll 1 se puede aproximar mediante una distribución de Poisson. La comparación se puede realizar con el siguiente simulador:

ID:(7794, 0)

Distribuciones de Poisson

Storyboard

En el caso en que la probabilidad es muy pequeña la distribución binomial se reduce a una distribución de Poisson.

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$\lambda$

lam

Desviación estándar de Poisson

$e^{-\lambda}$

elam

Exponential $e^{-\lambda}$

$N^n$

N^n

Exponential $N^n$

$n!$

Factorial $n!$

$n$

Numero

$N$

Número total de pasos

$n$

Número totales de pasos a la derecha

$\lambda^n$

lambda_n

Power of lambda $\lambda^n$

$P_N(m)$

P_Nm

Probabilidad de hacer un numero de pasos hacia la derecha

$p$

Probabilidad de pasos hacia la derecha

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$ P_{\lambda}(n) =\displaystyle\frac{ \lambda ^ n }{ n! }e^{- \lambda }$

P_lambda(n) =( lambda ^ n / n! )*exp(- lambda )

$N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}$

N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

W_N(n) =math.factorial( N )* p ^ n *(1- p )^( N - n )/(math.factorial( n )*math.factorial( N - n ))

$\lambda=Np$

lambda=Np

$e^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n}$

e^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n}

$\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^n$

\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^n

Ejemplos

Distribuci n binomial

Con list=8970 la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

equation=8970

con list=3358 el n mero total de pasos es

equation=3358

y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con list=8965 se tiene para las probabilidades que

equation=8965

por lo que con list se tiene la distribuci n binomial

equation

Aplicaci n de la aproximaci n de Sterling

Por ello expresiones como N!/(N-n)! para N grande (N\gg 1) y n chico (N\gg n) se pueden aproximar con

equation=8966

con lo que se obtiene con N\gg n

\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{\sqrt{2\pi N}}{\sqrt{2\pi (N-n)}}\displaystyle\frac{N^N}{(N-n)^{N-n}}\displaystyle\frac{e^{N-n}}{e^N}\sim N^n

osea

equation

Desviaci n estandard de distribuci n de Poisson

La desviaci n estandard de la distribuci n binomial en el l mite N grande y p peque o es

equation

Estimaci n de $N! p^n/(N-n)!$ si $p\sim 0$ y $N\gg n$

Con la aproximaci n

equation=4738

y empleando

equation=8964

se puede mostrar que

equation

Estimaci n de $(1-p)^{N-n}$ si $p\sim 0$ y $N\gg n$

Como el exponencial se define como

equation=8967

y al introducir

equation=8964

se puede reemplazar z=-\lambda=-Np y u=N-n con N\gg n lo que resulta

equation

Poisson: Probabilidad para $N$ grandes y $p$ peque os

Como la probabilidad de dar n pasos en una direcci n es

equation=8961

para un n mero grande N y la probabilidad es muy peque a p\ll 1 se puede aproximar

equation=8969

y

equation=8968

la distribuci n binomial se reduce a una distribuci n de Poisson:

equation

Ejemplo comparaci n con distribuci n de Poisson

Si se estudia la distribuci n binomial para n meros grandes N y probabilidad muy peque a p\ll 1 se puede aproximar mediante una distribuci n de Poisson. La comparaci n se puede realizar con el siguiente simulador:

image

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