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Número de Estados y Probabilidades
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Para sistematizar el estudio de sistemas utilizando el método de conteo de estados, buscamos establecer una relación directa entre la probabilidad de encontrar el sistema en una energía específica y el número de estados asociados.
ID:(493, 0)
Sistema en contacto con reservorio térmico
Ecuación
Supongamos que un sistema con energía $E_r$ está en contacto con un reservorio térmico de energía $E'$.
Un reservorio térmico se entiende como un sistema en el que su temperatura no cambia. Una forma de lograrlo es utilizando un reservorio de gran tamaño (como un baño maría).
Si ambos sistemas están aislados del entorno, la suma de sus energías será constante, lo cual puede expresarse con como
| $E_0=E_r+E_h$ |
.
ID:(3520, 0)
Probabilidad de encontrar el sistema en un estado $r$
Ecuación
La probabilidad de encontrar el sistema en un estado en el que tenga una energía $E_r$, mientras el reservorio tiene una energía $E' = E_0 - E_r$, se define como
$P_r = C \cdot \Omega_r(E_r) \cdot \Omega'(E')$
donde $C$ es una constante que se ajusta para garantizar que la probabilidad esté normalizada.
Dado que $P_r$ representa la probabilidad de encontrar el sistema en un estado particular $r$, el número de estados en el estado $r$ es igual a uno. En otras palabras, esto implica que
$\Omega_r(E_r) = 1$
Por lo tanto, la probabilidad se puede expresar con respecto a como
| $P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r)$ |
ID:(3521, 0)
Condición de normalización
Ecuación
Si sumamos las probabilidades de cada estado $r$, el resultado debe ser uno. Esto indica que está normalizada con la :
| $\sum_rP_r=1$ |
Esto equivale a decir que el sistema necesariamente debe encontrarse en uno de los estados posibles.
ID:(3522, 0)
Desarrollo del número de estados en serie de Taylor
Ecuación
Dado que la energía $E_r$ es significativamente menor que la energía total $E_0$, el logaritmo del número de estados puede ser desarrollado alrededor de la energía $E_r$ de la siguiente manera:
$\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0E_r\ldots$
Dado que la derivada del logaritmo del número de estados es igual a la función beta:
$\beta=\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0$
Podemos concluir que, en una primera aproximación con ,
| $\ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r$ |
.
ID:(3523, 0)
Ecuación para la probabilidad del estado $r$
Ecuación
Si sustituimos la expresión
| $\ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r$ |
con beta del sistema $1/J$, energía del estado $r$ $J$, energía del sistema $J$ y numero de Estados $-$
en la ecuación para la probabilidad con constante de Normalización $-$, energía del estado $r$ $J$, energía del sistema $J$, numero de Estados $-$ y probabilidad del estado $r$ $-$,
| $P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r)$ |
,
obtenemos con constante de Normalización $-$, energía del estado $r$ $J$, energía del sistema $J$, numero de Estados $-$ y probabilidad del estado $r$ $-$ la probabilidad
| $P_r=Ce^{-\beta E_r}$ |
,
donde $C$ es una constante que debe determinarse utilizando la condición de normalización.
La expresión $e^{-\beta E}$ se conoce como el factor de Boltzmann, y la distribución que describe se llama la distribución canónica.
ID:(3524, 0)
Constante de normalización
Ecuación
Bajo la condición de normalización con estado $r$ $-$ y probabilidad del estado $r$ $-$,
| $\sum_rP_r=1$ |
,
se deduce que la constante de normalización $C$ es igual a estado $r$ $-$ y probabilidad del estado $r$ $-$:
| $C^{-1}=\sum_re^{-\beta E_r}$ |
.
ID:(3525, 0)
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