Supongamos que un sistema con energ a $E_r$ est en contacto con un reservorio t rmico de energ a $E'$.

Un reservorio t rmico se entiende como un sistema en el que su temperatura no cambia. Una forma de lograrlo es utilizando un reservorio de gran tama o (como un ba o mar a).

Si ambos sistemas est n aislados del entorno, la suma de sus energ as ser constante, lo cual puede expresarse con como

.

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La probabilidad de encontrar el sistema en un estado en el que tenga una energ a $E_r$, mientras el reservorio tiene una energ a $E' = E_0 - E_r$, se define como

$P_r = C \cdot \Omega_r(E_r) \cdot \Omega'(E')$

donde $C$ es una constante que se ajusta para garantizar que la probabilidad est normalizada.

Dado que $P_r$ representa la probabilidad de encontrar el sistema en un estado particular $r$, el n mero de estados en el estado $r$ es igual a uno. En otras palabras, esto implica que

$\Omega_r(E_r) = 1$

Por lo tanto, la probabilidad se puede expresar con respecto a como

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Si sumamos las probabilidades de cada estado $r$, el resultado debe ser uno. Esto indica que est normalizada con la :

Esto equivale a decir que el sistema necesariamente debe encontrarse en uno de los estados posibles.

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Dado que la energ a $E_r$ es significativamente menor que la energ a total $E_0$, el logaritmo del n mero de estados puede ser desarrollado alrededor de la energ a $E_r$ de la siguiente manera:

$\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0E_r\ldots$

Dado que la derivada del logaritmo del n mero de estados es igual a la funci n beta:

$\beta=\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0$

Podemos concluir que, en una primera aproximaci n con ,

.

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Si sustituimos la expresi n

con beta del sistema $1/J$, energía del estado $r$ $J$, energía del sistema $J$ y numero de Estados $-$

en la ecuaci n para la probabilidad con constante de Normalización $-$, energía del estado $r$ $J$, energía del sistema $J$, numero de Estados $-$ y probabilidad del estado $r$ $-$,

,

obtenemos con constante de Normalización $-$, energía del estado $r$ $J$, energía del sistema $J$, numero de Estados $-$ y probabilidad del estado $r$ $-$ la probabilidad

,

donde $C$ es una constante que debe determinarse utilizando la condici n de normalizaci n.

La expresi n $e^{-\beta E}$ se conoce como el factor de Boltzmann, y la distribuci n que describe se llama la distribuci n can nica.

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Bajo la condici n de normalizaci n con estado $r$ $-$ y probabilidad del estado $r$ $-$,

,

se deduce que la constante de normalizaci n $C$ es igual a estado $r$ $-$ y probabilidad del estado $r$ $-$:

.

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