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Formulario para propiedades
Descripción
Las principales ecuaciones en función de la función partición:
Energía interna
| $U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$ |
Entalpía
| $ H =-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial \beta }+\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial V }$ |
Energía libre de Helmholtz
| $ F =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\ln Z $ |
Energía libre de Gibbs
| $ G =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\ln Z +\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial\ln Z }{\partial V }$ |
Entropia
| $ S = k_B ( \ln Z + \beta U )$ |
Presión
| $\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$ |
Compresibilidad
| $\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$ |
Dilatación térmica
| $ k_T = k_p k_B \left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta \partial V }-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }\right)$ |
Capacidad térmica para volumen constante
| $ C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$ |
Capacidad térmica para presión constante
| $ C_p = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial^2 \ln Z }{ \partial \beta ^2}+ k_B V \left(\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }-\beta \displaystyle\frac{\partial^2 \ln Z }{\partial \beta \partial V }\right)$ |
Relación util
| $\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$ |
Funciones de partición para los sólidos
Modelo clásico
| $ \ln Z_s =- 3 N \ln\left(\displaystyle\frac{ \Theta_s }{ T }\right)-\displaystyle\frac{3 N V_0 }{ k_B T } $ |
Modelo de Einstein
| $ \ln Z_E =-\displaystyle\frac{3 N }{2}\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }-\displaystyle\frac{ NV_0 }{ k_B T }-3 N \ln(1-e^{- \Theta_E / T })$ |
Modelo de Debye
| $\ln Z_D = -\displaystyle\frac{9N}{8}\displaystyle\frac{\Theta_D}{T}-\displaystyle\frac{NV_0}{k_BT}-9N\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\displaystyle\int_0^{\Theta_D/T}du\,u^2\ln(1-e^{-u})$ |
ID:(13400, 0)
Dependencia del volumen
Ecuación
En todas las funciones de partición que describen un solido el único termino que depende del volumen es aquel de la deformación elástica. Dentro de este marco sabemos que la compresibilidad debe ser
| $ k_p = \displaystyle\frac{3(1-2 \nu )}{ E }$ |
El equivalente a la relación elástica
| $ \sigma = E \epsilon $ |
se tiene la relación correspondiente para la presión igual a
| $ p = E \epsilon $ |
ID:(13646, 0)
Ecuación para la deformación
Ecuación
Como la compresibilidad es
| $ k_p = -\displaystyle\frac{1}{ V }\displaystyle\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\displaystyle\right)_ T $ |
se tiene que con la presión
| $ p = E \epsilon $ |
y la expresión para la compresibilidad
| $ k_p = \displaystyle\frac{3(1-2 \nu )}{ E }$ |
\\n\\nla ecuación\\n\\n
$\displaystyle\frac{\partial\epsilon}{\partial V}=-\displaystyle\frac{1}{3(1-2\nu)}\ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)$
donde
| $ \epsilon =- \displaystyle\frac{1}{3(1-2\nu)} \ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)$ |
ID:(13647, 0)
Limite de la ecuación para la deformación
Ecuación
En el limite de deformaciones pequeñas el volumen deformado
| $ \epsilon =- \displaystyle\frac{1}{3(1-2\nu)} \ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)$ |
\\n\\nse puede desarrollar en torno a la unidad\\n\\n
$\ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)\sim 0 + 1 - \displaystyle\frac{V}{V_0} = \displaystyle\frac{V_0-V}{V_0}$
y con ello la relación para la deformación es
| $ \epsilon =- \displaystyle\frac{1}{3(1-2\nu)} \displaystyle\frac{V_0 - V}{V_0}$ |
ID:(13648, 0)
Calculo de la función partición en función del volumen
Ecuación
Como la presión se calcula con la derivada respecto del volumen de la función partición
| $\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$ |
la presión es
| $ p = E \epsilon $ |
y con la deformación dada por
| $ \epsilon =- \displaystyle\frac{1}{3(1-2\nu)} \ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)$ |
\\n\\nse obtiene la ecuación\\n\\n
$p=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial \ln Z_V}{\partial V}=E\epsilon =-\displaystyle\frac{E}{3(1-2\nu)}\ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)$
que si se integra entre el volumen sin deformación
| $ \ln Z_V = \displaystyle\frac{\beta E}{3(1-2\nu)}\left(V \ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right) - V + V_0\right)$ |
ID:(13649, 0)
Limite de la función partición para deformación pequeña
Ecuación
En el limite de deformaciones pequeñas el volumen deformado
| $ \ln Z_V = \displaystyle\frac{\beta E}{3(1-2\nu)}\left(V \ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right) - V + V_0\right)$ |
\\n\\nse puede desarrollar en torno a la unidad\\n\\n
$V\ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)-V+V_0\sim \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{(V_0-V)^2}{V_0^2}$
y con ello la relación para la deformación es
| $ \ln Z_V =- \displaystyle\frac{\beta E}{2\cdot 3(1-2\nu)} \displaystyle\frac{(V_0 - V)^2}{V_0^2}$ |
ID:(13650, 0)