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Modelo Cuánticos del Sólidos

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Una de las aplicaciones es el calculo de la función partición de un solido. Para ello se representa a través de una serie de osciladores armónicos mecánico cuánticos modelando en distintas formas los modos de oscilaciones de la estructura.

>Modelo

ID:(487, 0)



Modelo de solido

Concepto

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Un solido se puede describir como un sistema de partículas que forman una red y en que estas pueden oscilar en torno de un punto de equilibrio. La oscilación se asocia a la energía interna y con ello a la temperatura de este.

ID:(1579, 0)



Hamiltoniano del sólido

Ecuación

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Podemos asumir un modelo de un solido, en que cada partícula interactua con sus vecinos via campo efectivo con lo que se describe como que fuera y la energía potencia se puede describir como la de un resorte.

En este caso el hamilitoneano de un solido se puede describir mediante con lo que:

$ H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$

ID:(4800, 0)



Energías de los estados

Ecuación

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En mecánica cuántica se puede resolver en forma analítica el problema del hamiltoneano de un oscilador armónico con frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, hamiltoneano del oscilador armónico $J$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio $m$ y velocidad de la partícula r $m/s$

$ H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$



lo que resulta en los estado de energía r con frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, hamiltoneano del oscilador armónico $J$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio $m$ y velocidad de la partícula r $m/s$ es de la forma

$ \epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $

ID:(4801, 0)



Energía del solido

Ecuación

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Como la energía del estado r es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del estado $r$ $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$ \epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $



se tiene que la energía total es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del estado $r$ $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$ E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $

ID:(4802, 0)



Energía mínima a temperatura nula

Ecuación

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El estado de mínima energía con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido mecánico cuántico $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, numero cuántico del oscilador armónico $-$ y numero de partículas $-$ de

$ E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $

\\n\\nse obtiene si todos los osciladores están en su estado fundamental, es decir\\n\\n

$n_r=0$

\\n\\ncon lo que la energía se reduce a\\n\\n

$V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r =1}^{3 N }\hbar\omega_r$



por lo que se puede introducir una energía base que puede contener la energía de deformación elástica. Con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido mecánico cuántico $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, numero cuántico del oscilador armónico $-$ y numero de partículas $-$

$ \eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$

ID:(3894, 0)



Función partición en el caso de un solido

Ecuación

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Con la función partición con

$Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$



y la energía del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido mecánico cuántico $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, numero cuántico del oscilador armónico $-$ y numero de partículas $-$

$ E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $



se obtiene la función partición del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido mecánico cuántico $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, numero cuántico del oscilador armónico $-$ y numero de partículas $-$

$ Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$



en donde se uso la definición de la energía mínima

$ \eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$

ID:(3895, 0)



Reordenando los productos

Ecuación

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La expresión de la función partición con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido mecánico cuántico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$ Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$



puede ser re-escrita con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido mecánico cuántico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$ como

$ Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$

ID:(9499, 0)



Función partición de un solido

Ecuación

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En la expresión con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido mecánico cuántico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$ Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$

\\n\\ncada elemento del producto puede ser sumado ya que corresponde a una serie geométrica en un q=e^{-\beta\hbar\omega_r}:\\n\\n

$\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}e^{-\beta n_r\hbar\omega_r}\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}q^{n_r}=\displaystyle\frac{1}{1-q}=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-\beta \hbar\omega_r}}$



por lo que el logaritmo de la función partición es con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido mecánico cuántico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$

ID:(9500, 0)



Logaritmo de la función partición de un solido

Ecuación

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Si se toma el logaritmo de la función partición de un solido con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido clásico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$



se obtiene la expresión con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido clásico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$ \ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$

ID:(9501, 0)



Función partición del solido con función de espectro

Ecuación

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Si se introduce una función \sigma(\omega) tal que \sigma(\omega)d\omega indica el número de modos que existen entre las frecuencias \omega y \omega+d\omega se puede pasar la suma sobre los 3N estados a una integral\\n\\n

$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$



con lo que el logaritmo de la función partición con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, logaritmo de la función partición mecánico cuántico $-$ y numero de partículas $-$

$ \ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$



se estima con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, logaritmo de la función partición mecánico cuántico $-$ y numero de partículas $-$

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$

ID:(3896, 0)



Energía mínima del solido con función de espectro

Ecuación

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Con el paso discreto al continuo\\n\\n

$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$



la energía mínima del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ y numero de partículas $-$

$ \eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$



se estima con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ y numero de partículas $-$

$ \eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$

ID:(9540, 0)



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